Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2010 год вариант 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2010 год

Вариант 1

1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{a - b}{2} \cdot \left( \frac{a + b - 2}{2} \right)^2 \right) \div \left( \frac{96}{91} - 3 \right) \]
   
   
2. Расстояние между своим домиком и домиком Винни-Пуха Пятачок проходит на 3 минуты быстрее, чем Винни. Сколько времени тратит на дорогу Пятачок, если его скорость в 2,5 раза больше скорости друга?
   
   
3. Построить график функции: \[ y = \frac{x - 2}{11 - x} \]
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(K\) — середина стороны \(AC\). Отрезок \(BK\) пересекается с медианой \(AM\) в точке \(P\). Найти площадь треугольника \(ABP\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 9.
   
   
5. Найти все значения переменной \(x\), удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x - 2}{x - 4} \leq 0, \quad 2 - x \leq 0 \]
   
   
6. Решить уравнение: \[ (x - 4)(x - 5) = 0 \]
   
   
7. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} x + ay = 5 \\ y + ax = 5 \end{cases} \] имеет ровно одно решение?

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \left( \frac{a - b}{2} \cdot \left( \frac{a + b - 2}{2} \right)^2 \right) \div \left( \frac{96}{91} - 3 \right) \] Решение: \[ \frac{96}{91} - 3 = \frac{96}{91} - \frac{273}{91} = -\frac{177}{91} \] Преобразуем выражение: \[ \left( \frac{a - b}{2} \cdot \frac{(a + b - 2)^2}{4} \right) \cdot \left( -\frac{91}{177} \right) = -\frac{91}{177} \cdot \frac{(a - b)(a + b - 2)^2}{8} \] Ответ: \(-\frac{91}{1416}(a - b)(a + b - 2)^2\).
   
   
2. Расстояние между своим домиком и домиком Винни-Пуха Пятачок проходит на 3 минуты быстрее, чем Винни. Сколько времени тратит на дорогу Пятачок, если его скорость в 2{,}5 раза больше скорости друга?
   Решение: Пусть скорость Винни-Пуха \(v\) км/мин, тогда скорость Пятачка \(2{,}5v\). Обозначим расстояние \(S\). Время Винни: \(\frac{S}{v}\), время Пятачка: \(\frac{S}{2{,}5v}\). Разница: \[ \frac{S}{v} - \frac{S}{2{,}5v} = 3 \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{v}(1 - 0{,}4) = 3 \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{v} = 5 \text{ мин.} \] Время Пятачка: \(\frac{5}{2{,}5} = 2\) мин.
   Ответ: 2 минуты.
   
   
3. Построить график функции: \[ y = \frac{x - 2}{11 - x} \] Решение: Преобразуем функцию: \[ y = -\frac{x - 2}{x - 11} = -1 - \frac{9}{x - 11} \] Вертикальная асимптота: \(x = 11\), горизонтальная асимптота: \(y = -1\). Точки пересечения:
   С осью \(Ox\): \(y = 0 \Rightarrow x = 2\);
   С осью \(Oy\): \(x = 0 \Rightarrow y = -\frac{2}{11}\).
   График — гипербола с центром в точке \((11, -1)\).
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(K\) — середина стороны \(AC\). Отрезок \(BK\) пересекается с медианой \(AM\) в точке \(P\). Найти площадь треугольника \(ABP\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 9.
   Решение: Медиана \(AM\) делит треугольник на две равные части (\(S_{ABM} = S_{AMC} = 4{,}5\)). Точка \(K\) — середина \(AC\), значит \(BK\) — медиана треугольника \(ABC\). Точка пересечения медиан делит их в отношении \(2:1\). Следовательно, \(S_{ABP} = \frac{2}{3} \cdot S_{ABM} = \frac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3\).
   Ответ: 3.
   
   
5. Найти все значения переменной \(x\), удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: \[ \frac{x - 2}{x - 4} \leq 0, \quad 2 - x \leq 0 \] Решение:
   1. \(\frac{x - 2}{x - 4} \leq 0 \Rightarrow x \in [2; 4)\).
   2. \(2 - x \leq 0 \Rightarrow x \geq 2\).
   Объединение решений: \(x \in [2; +\infty)\) (при \(x = 4\) второе неравенство выполняется).
   Ответ: \(x \in [2; +\infty)\).
   
   
6. Решить уравнение: \[ (x - 4)(x - 5) = 0 \] Решение: \[ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] \[ x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Ответ: 4; 5.
   
   
7. При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} x + ay = 5 \\ y + ax = 5 \end{cases} \] имеет ровно одно решение?
   Решение: Определитель системы: \[ \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1 - a^2 \] Система имеет единственное решение при \(1 - a^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 1\).
   Ответ: \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\).