Лицей НИУ ВШЭ из 9 в 10 класс 2009 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
2009 год
- Упростить выражение:
\[
\left( a^2 + 3a + 2 \right) \left( a^2 + 9a + 27 \right) \div \left( a^2 + 9a + 27 \right)
\]
- Решить систему:
\[
\begin{cases}
0{,}5x - 1 \leq 3 \\
x^2 - 3x - 4 = 0
\end{cases}
\]
- Найти все целые решения неравенства:
\[
\frac{2}{5} < x
\]
- При каких значениях \(k\) графики функций
\[
y = 2k^2 - 3k + kx + 3
\quad \text{и} \quad
y = 2k^2 + 3k - 1 - 2x
\]
параллельны?
- В прямоугольник вписан ромб со стороной 5 см так, что все вершины ромба лежат на различных сторонах прямоугольника. Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 6 см.
- Двум садовникам было поручено высадить кусты роз. Однако у первого садовника заболела нога, и он приступил к работе на 3 дня позже, чем второй. На сколько дней позже закончили работать садовники, если производительность первого садовника была в 2 раза больше производительности второго, а закончили они высаживать кусты роз одновременно?
- Построить множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих совокупности: \[ \left\{ \begin{aligned} & \frac{y}{x + 4} \geq \frac{2}{3} \\ & x^2 + 4x - y^2 + 2y \leq 0 \end{aligned} \right. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\left( a^2 + 3a + 2 \right) \left( a^2 + 9a + 27 \right) \div \left( a^2 + 9a + 27 \right)
\]
Решение: Заметим, что выражение содержит одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\[
\frac{(a^2 + 3a + 2)(a^2 + 9a + 27)}{a^2 + 9a + 27} = a^2 + 3a + 2 \quad \text{при} \quad a^2 + 9a + 27 \neq 0
\]
Ответ: \(a^2 + 3a + 2\).
- Решить систему:
\[
\begin{cases}
0{,}5x - 1 \leq 3 \\
x^2 - 3x - 4 = 0
\end{cases}
\]
Решение:
- Решим уравнение \(x^2 - 3x - 4 = 0\): \[ D = 9 + 16 = 25 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3 \pm 5}{2} = 4 \quad \text{или} \quad -1 \]
- Проверим неравенство \(0{,}5x - 1 \leq 3\): \[ 0{,}5x \leq 4 \quad \Rightarrow \quad x \leq 8 \] Оба корня удовлетворяют неравенству.
- Найти все целые решения неравенства:
\[
\frac{2}{5} < x
\]
Решение: Неравенство выполняется для всех целых чисел, больших \(0{,}4\):
\[
x \in \{1, 2, 3, \ldots\}
\]
Ответ: Все целые числа \(x \geq 1\).
- При каких значениях \(k\) графики функций
\[
y = 2k^2 - 3k + kx + 3 \quad \text{и} \quad y = 2k^2 + 3k - 1 - 2x
\]
параллельны?
Решение: Угловые коэффициенты должны быть равны:
\[
k = -2
\]
Проверим свободные члены при \(k = -2\):
\[
2(-2)^2 - 3(-2) + 3 = 8 + 6 + 3 = 17 \quad \text{и} \quad 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 = 8 - 6 - 1 = 1
\]
Ответ: \(k = -2\).
- В прямоугольник вписан ромб со стороной 5 см. Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 6 см.
Решение: Диагонали ромба равны сторонам прямоугольника. Пусть \(d_1 = 6\) см, тогда:
\[
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 5^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{d_2^2}{4} = 25 - 9 = 16 \quad \Rightarrow \quad d_2 = 8 \text{ см}
\]
Площадь прямоугольника:
\[
6 \times 8 = 48 \text{ см}^2
\]
Ответ: 48 см².
- Двум садовникам поручено высадить кусты роз. Первый начал на 3 дня позже и работал в 2 раза быстрее. Найти разницу во времени окончания.
Решение: Пусть второй работал \(t\) дней, тогда первый — \(t - 3\) дней. Объём работы:
\[
v \cdot t = 2v \cdot (t - 3) \quad \Rightarrow \quad t = 2t - 6 \quad \Rightarrow \quad t = 6
\]
Разница: \(6 - (6 - 3) = 3\) дня.
Ответ: На 3 дня позже.
- Построить множество точек, удовлетворяющих:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{y}{x + 4} \geq \frac{2}{3} \\
& x^2 + 4x - y^2 + 2y \leq 0
\end{aligned}
\right.
\]
Решение:
- Первое неравенство: \(y \geq \frac{2}{3}(x + 4)\) при \(x > -4\) или \(y \leq \frac{2}{3}(x + 4)\) при \(x < -4\).
- Второе неравенство преобразуем: \[ (x + 2)^2 - (y - 1)^2 \leq 3 \quad \Rightarrow \quad \text{гипербола с центром в } (-2, 1) \]
Материалы школы Юайти