Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2025 год

1. Мэр, прогуливаясь по улицам любимого города, обращал внимание, что на одной из улиц вдоль правой стороны тротуара проходят 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Ещё он обратил внимание, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Верно ли, что какие‑то три мерседеса, стоящие подряд, — одного цвета?
2. Гендельф попросил Фродо загадать шесть простых чисел и сказать ему, на сколько наименьшее из загаданных отличается от остальных. Фродо сказал, что второе — на два, третье — на шесть, четвёртое — на восемь, пятое — на двенадцать, шестое — на четырнадцать. Гендельф с уверенностью назвал все шесть загаданных чисел. Сможете ли сделать это Вы?
3. На прямой отмечено 2019 точек, лежащих вне отрезка \(AB\). Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки \(A\) не равна сумме расстояний от этих точек до точки \(B\).
4. Гном Балин решил развлечь своих друзей‑гномов. Он положил на стол 4 монеты и сказал, что среди них ровно одна фальшивая. Она отличается по весу от остальных. Балин предложил гномам угадать, какая монета фальшивая, при этом разрешил брать две группы монет и спрашивать у него, какая из них легче. В этом случае он будет говорить, какая группа легче. В случае если же группы монет равны по весу, то Балин будет показывать любую произвольную группу. У гномов есть всего 3 вопроса к Балину, чтобы выяснить, какая монета фальшивая. Смогут ли гномы угадать её?
5. Э. Рубик написал на каждой грани куба по одному натуральному числу, а затем для каждой вершины вычислил произведение чисел на трёх гранях, примыкающих к ней. Оказалось, что сумма восьми полученных чисел равна 1001. Чему может равняться сумма шести чисел, написанных на гранях куба?
6. Торин Дубощит пытается распределить 100 кусков золота массами \(1,2,3,\dots,100\) на 10 кучек разной массы. При этом он старается придерживаться условия: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней кусочков золота. Сможет ли Торин осуществить свой замысел?
7. В клубе любителей числа 2019 прошёл чемпионат по шашкам. В какой‑то момент в финальной партии на доске \(2019\times2019\) оказалось 2019 шашек. Более того, их расположение было симметрично относительно обеих главных диагоналей. Верно ли, что одна из шашек находится в центральной клетке доски?
8. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, за ничью — каждому по \(a\) очков, где \(a\) — натуральное число, а за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(a\) это возможно?
9. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продолжаются на свои длины за точки \(A\) и \(C\). Получили точки \(P\) и \(Q\). Оказалось, что диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\). Пусть \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
10. Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
11. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
12. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\) таким образом, что угол \(PMB\) равен углу \(QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
13. В клетке таблицы \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2\times2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
    
    
14. К пятизначному числу A сначала приписали цифру 1 слева, получив шестизначное число P, а потом приписали цифру 1 справа, получив шестизначное число Q. Оказалось, что Q = 3P. Чему может быть равно число A?
15. Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых 9 параллельны одной стороне квадрата, а 9 — другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
16. В таблице 3х3 расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате 2х2 равно 2. Какое число стоит в центре?
17. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) являются серединами оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
18. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить (включённую выключить, выключенную включить) любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных лампочек и переключить все, кроме средней. Можно ли таким образом выключить все лампочки?
19. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно у 22 точек есть по крайней мере одна соседняя чёрная точка, а ровно у 30 точек есть по крайней мере одна соседняя белая точка. Сколько всего белых точек расположено на окружности?
20. Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметр, проходит через вершину \(B\) и середину стороны \(BC\). Найдите углы параллелограмма \(ABCD\).

Решения задач

1. Верно, что какие‒-то три мерседеса одного цвета стоят подряд.
   Решение: Всего мерседесов красных 30, жёлтых 20, розовых 20. Предположим, что ни одно трио подряд не одного цвета. Тогда мерседесы разбиты на блоки максимум по 2. Минимальное число блоков: \(\lceil\frac{30}{2}\rceil + \lceil\frac{20}{2}\rceil + \lceil\frac{20}{2}\rceil = 15 + 10 + 10 = 35\). Между разными цветами должны быть не-мерседесы. Необходимо 34 не-мерседеса, но их всего 30. Противоречие, значит существует тройка одного цвета.
   Ответ: Да, верно.
   
   
2. Загаданные числа: \(5,7,11,13,17,19\).
   Решение: Пусть минимальное число — \(p\). Все числа: \(p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14\). Для \(p=5\): числа \(5,7,11,13,17,19\) — простые. Другие \(p\) не подходят.\ Ответ: \(5,7,11,13,17,19\).
   
   
3. Сумма расстояний до \(A\) не равна сумме до \(B\).
   Решение: Пусть точки вне отрезка \(AB\) лежат на продолжении \(AB\) за точку \(B\). Для каждой точки \(X\) расстояние \(AX = AB + BX\). Сумма: \(\sum AX = 2019 \cdot AB + \sum BX\). Т. к. \(AB \neq 0\), суммы равны быть не могут.
   Ответ: Суммы не равны.
   
   
4. Гномы смогут определить фальшивую монету за 3 вопроса.
   Решение: Взвешивания:\enspace 1. Сравнить монеты 1 и 2.\newline - Если равны: фальшивая среди 3 или 4. Взвешивание 3 и 1 определит фальшивую.\newline - Если не равны: следующее взвешивание определит фальшивую через сравнение с эталоном.
   Ответ: Да, смогут.
   
   
5. Сумма чисел на гранях равна \(31\).
   Решение: Пусть противоположные грани: \(a, a'\), \(b, b'\), \(c, c'\). Сумма произведений: \((a + a')(b + b')(c + c') = 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13\). Сумма \(a + a' + b + b' + c + c' = 7 + 11 + 13 = 31\).
   Ответ: \(31\).
   
   
6. Не удастся распределить кучи согласно условиям.
   Решение: Самые тяжёлые кучи содержат мало кусков. Минимальная сумма наиб. кусков: \(1 + 2 + ... + 10 = 55\), что превышает \(100\). Противоречие.
   Ответ: Нет, не сможет.
   
   
7. Центральная шашка обязана быть.
   Решение: Симметрия требует, чтобы число шашек было чётно, но их \(2019\) (нечётно). Центральная клетка — единственная на пересечении диагоналей.
   Ответ: Да, верно.
   
   
8. Значение \(a = 8\).
   Решение: Составляется уравнение \(11w + a(100 - 2w) = 800\). При \(a = 8\) решения возможны при \(w = 0\), \(d = 100\).
   Ответ: \(a = 8\).
   
   
9. \(AKCM\) — параллелограмм.
   Решение: Векторно показываем равенство \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{KC}\) через свойства середин и параллельность.
   Ответ: Доказано.
   
   
10. 2019-й палиндром: \(1098901\).
    Решение: Семизначные палиндромы вида \(abcdcba\). Первые 2019 чисел соответствуют \(abcd = 1110 + 2019 = 3129\), затем корректировка на пропуски.
    Ответ: \(1098901\).