Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2025 год

1. (3 балла) Решите уравнение \[ 4(2x^2 + x)(x - 2) = (x^2 + 1)^2. \]
2. (3 балла) Андрей написал на доске натуральное четырёхзначное число, последняя цифра которого ненулевая. Боря написал на доске число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Вася вычел из первого числа второе и получил 2277. Найдите наименьшее возможное число, которое мог написать Андрей, если известно, что оно кратно 11.
3. (4 балла) На заводе резервуар наполняют из двух кранов. Из первого крана поступает 77‑процентный раствор соли, а из второго — 32‑процентный раствор соли. Первый кран наполняет резервуар за 25 минут, а второй — за 15 минут. Начальник смены открыл сначала первый кран. Через сколько минут ему надо открыть второй кран, чтобы к моменту наполнения резервуара в нём получился 50‑процентный раствор соли?
4. (5 баллов) Дан остроугольный треугольник \(ABC\), в котором проведена высота \(BH\). Пусть \(K\) и \(L\) — основания перпендикуляров из точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(CB\) соответственно. Известно, что угол \(BKC\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(ALH\) (в градусах).
5. (5 баллов) Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{2a^2 - 3a + 5}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3a + 1}{x - 3} \] имеет ровно одно решение.

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 4(2x^2 + x)(x - 2) = (x^2 + 1)^2. \]
   Решение: Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: \[ 4(2x^3 - 3x^2 - 2x) = x^4 + 2x^2 + 1 \implies x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x + 1 = 0. \] Факторизуем левую часть: \[ (x^2 - 4x - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 4x - 1 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{5}. \] Ответ: \( x = 2 + \sqrt{5} \) и \( x = 2 - \sqrt{5} \).
2. Андрей написал на доске натуральное четырёхзначное число, последняя цифра которого ненулевая. Боря написал на доске число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Вася вычел из первого числа второе и получил 2277. Найдите наименьшее возможное число, которое мог написать Андрей, если известно, что оно кратно 11.
   Решение: Пусть число Андрея \( N = 1000a + 100b + 10c + d \), тогда число Бори \( M = 1000d + 100c + 10b + a \). По условию: \[ N - M = 2277 \implies 999a + 90b - 90c - 999d = 2277. \] Сокращаем на 9: \[ 111(a - d) + 10(b - c) = 253. \] Решаем уравнение при \( a - d = 3 \) и \( b - c = -8 \). Наименьшее число с проверкой на делимость на 11: \( 4081 \). Ответ: \( 4081 \).
3. На заводе резервуар наполняют из двух кранов. Из первого крана поступает 77%-ный раствор соли, а из второго – 32%-ный раствор соли. Первый кран наполняет резервуар за 25 минут, а второй – за 15 минут. Начальник смены открыл сначала первый кран. Через сколько минут ему надо открыть второй кран, чтобы к моменту наполнения резервуара в нём получился 50%-ный раствор соли?
   Решение: Объём резервуара примем за 1. Пусть через \( x \) минут открыли второй кран. Уравнения объёма и концентрации: \[ \frac{T}{25} + \frac{T - x}{15} = 1 \quad \text{и} \quad \frac{0.77T}{25} + \frac{0.32(T - x)}{15} = 0.5. \] Решаем систему уравнений и находим \( x = 1 \) минуту. Ответ: через \( 1 \) минуту.
4. Дан остроугольный треугольник \(ABC\), в котором проведена высота \(BH\). Пусть \(K\) и \(L\) – основания перпендикуляров из точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(CB\) соответственно. Известно, что угол \(BKC\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(ALH\) (в градусах).
   Решение: Из свойств проекций и перпендикуляров в треугольнике: \[ \angle ALH = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ. \] Ответ: \( 20^\circ \).
5. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ &\frac{x + 3}{x - 2} + \frac{2a^2 - 3a + 5}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3a + 1}{x - 3} \] имеет ровно одно решение.
   Решение: Преобразуем уравнение к квадратному: \[ x^2 - (3a + 1)x + (2a^2 + 3a - 2) = 0. \] Корни \( x_1 = 2a - 1 \) и \( x_2 = a + 2 \). Анализируем запрещённые значения и совпадение корней: \[ a \in \{0, 1, 1.5, 2, 3\}. \] Ответ: \( a = 0; 1; 1.5; 2; 3 \).