Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2025 год

1. (0,5 балла) Решите уравнение \[ \frac{7x + 15}{3} - \frac{x - 3}{6} = 6{,}8. \]
2. (1 балл) Директор магазина сладких подарков планирует изменить стоимость продуктов 29 декабря. Если до этой даты будет распродано более 75% всего товара, то он повысит цену всех позиций на 20%. Если же продадут менее 50%, то он снизит цену всех товаров на 30%. 29 декабря в магазине осталось 19% товара, и шоколадный батончик стал стоить 60 р. За какую сумму можно было бы купить этот батончик, если бы 29 декабря в магазине оставалось 51% товара? Ответ дайте в рублях.
3. (1 балл) Найдите значение выражения: \[ \sqrt{\bigl(5 - 3\sqrt{3}\bigr)^2} + \sqrt{\frac{1}{8}\,\sqrt{0{,}72} - 3\sqrt{3}}. \]
4. (1 балл) Известно, что \(x_1(1 - x_2) + x_2(1 - x_1) = 7{,}5\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \[ 2x^2 - 6x + 3a = 0. \] Найдите \(a\).
5. (1 балл) Прямая \(l\) проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями \(y = -3x + 1\) и \(y = 7x - 9\). Известно также, что прямая \(l\) параллельна прямой, проходящей через точки \(A(-2;1)\) и \(B(-1;3)\). Найдите абсциссу точки пересечения прямой \(l\) с осью абсцисс.
6. (1 балл) Был обнаружен корабль с марсианами. У каждого из них есть рога или хвост. У третьей хвостатых есть рога, а у четверти рогатых — хвост. Сколько марсиан было на корабле, если известно, что их больше 12, но меньше 20?
7. (1 балл) Упростите выражение \[ \frac{9a^3 - 42a^2 + 49a}{3a^2 - 7a} - \frac{49a - 16a^3}{4a^2 - 7a} \] и вычислите его значение при \(a = -\tfrac{5}{4}\).
8. (1 балл) В равнобедренном треугольнике \(ABC\) \(AB = BC = 9\), \(AC = 6\). На стороне \(AB\) взята точка \(M\) так, что \(AM = 3\). Найдите квадрат длины отрезка \(MC\).
9. (1 балл) Винни Пух и Пятачок задумали напугать друг друга. Нарядились в страшные костюмы и одновременно отправились друг друга навестить. Когда они неожиданно столкнулись на дороге, так сильно испугались, что быстро развернулись и побежали к своим домам, увеличив свою первоначальную скорость в 3 раза и потратив на обратный путь 48 минут. Если бы не встреча, то один из них прошёл бы весь путь от своего дома до дома друга на 2 часа быстрее, чем второй. За сколько часов пробежал бы весь этот путь Винни Пух, если известно, что он перед выходом наелся варенья и бежал медленнее, чем Пятачок?
10. (1,5 балла) Найдите наименьшее натуральное число \(k\), такое что \(k^3\) можно представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{7x + 15}{3} - \frac{x - 3}{6} = 6{,}8. \] Решение: Умножим обе части уравнения на 6 для устранения знаменателей: \[ 2(7x + 15) - (x - 3) = 40{,}8. \] Раскроем скобки: \[ 14x + 30 - x + 3 = 40{,}8 \implies 13x + 33 = 40{,}8. \] Вычтем 33: \[ 13x = 7{,}8 \implies x = \frac{7{,}8}{13} = 0{,}6. \] Ответ: \(0{,}6\).
   
   
2. Директор магазина сладких подарков планирует изменить стоимость продуктов 29 декабря. Если до этой даты будет распродано более 75% всего товара, то он повысит цену всех позиций на 20%. Если же продадут менее 50%, то он снизит цену всех товаров на 30%. 29 декабря в магазине осталось 19% товара, и шоколадный батончик стал стоить 60 р. За какую сумму можно было бы купить этот батончик, если бы 29 декабря в магазине оставалось 51% товара? Ответ дайте в рублях.
   Решение: Остаток 19% товара означает продажу 81%, что больше 75% → цена повысилась на 20\%. Исходная цена: \[ 60\ \text{р.} \div 1{,}2 = 50\ \text{р.} \] При остатке 51% товара продано 49% → цена снизилась бы на 30%: \[ 50\ \text{р.} \times 0{,}7 = 35\ \text{р.} \] Ответ: 35 руб.
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ \sqrt{\bigl(5 - 3\sqrt{3}\bigr)^2} + \sqrt{\frac{1}{8}\,\sqrt{0{,}72} - 3\sqrt{3}}. \] Решение: Упростим первое слагаемое: \[ \sqrt{(5 - 3\sqrt{3})^2} = |5 - 3\sqrt{3}| = 3\sqrt{3} - 5 \quad (\text{т.к. } 3\sqrt{3} > 5). \] Второе слагаемое содержит отрицательное подкоренное выражение (\(≈ -5{,}09\)), поэтому действительного решения нет. Возможна опечатка в условии. Ответ определяется только первым слагаемым: \[ 3\sqrt{3} - 5. \] Ответ: \(3\sqrt{3} - 5\).
   
   
4. Известно, что \(x_1(1 - x_2) + x_2(1 - x_1) = 7{,}5\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \[ 2x^2 - 6x + 3a = 0. \] Найдите \(a\).
   Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 3,\quad x_1x_2 = \frac{3a}{2}. \] Подставим в данное уравнение: \[ x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 7{,}5 \implies 3 - 2 \cdot \frac{3a}{2} = 7{,}5 \implies 3 - 3a = 7{,}5 \implies a = -1{,}5. \] Ответ: \(-1{,}5\).
   
   
5. Прямая \(l\) проходит через точку пересечения прямых \(y = -3x + 1\) и \(y = 7x - 9\). Параллельна прямой через точки \(A(-2;1)\) и \(B(-1;3)\). Найдите абсциссу точки пересечения прямой \(l\) с осью \(Ox\).
   Решение: Найдем точку пересечения прямых: \[ -3x + 1 = 7x - 9 \implies x = 1,\ y = -2. \] Угловой коэффициент прямой \(AB\): \[ k = \frac{3 - 1}{-1 + 2} = 2. \] Уравнение прямой \(l\): \[ y + 2 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 4. \] При \(y = 0\): \[ 0 = 2x - 4 \implies x = 2. \] Ответ: 2.
   
   
6. Был обнаружен корабль с марсианами, у каждого есть рога или хвост. У третьей хвостатых есть рога, у четверти рогатых — хвост. Найдите количество марсиан, если их больше 12, но меньше 20.
   Решение: Пусть \(R\) — рогатые, \(H\) — хвостатые. \[ \frac{H}{3} = \frac{R}{4} \implies H = \frac{3R}{4}. \] Общее количество: \[ R + H - \frac{R}{4} = \frac{3R}{4} + R - \frac{R}{4} = \frac{3R}{2}. \] При \(R = 8\): \[ \frac{3 \cdot 8}{2} = 12 \quad (\text{не подходит}). \] При \(R = 12\): \[ \frac{3 \cdot 12}{2} = 18 \quad (12 < 18 < 20). \] Ответ: 18.
   
   
7. Упростите выражение \[ \frac{9a^3 - 42a^2 + 49a}{3a^2 - 7a} - \frac{49a - 16a^3}{4a^2 - 7a} \] и вычислите его значение при \(a = -\tfrac{5}{4}\).
   Решение: Упростим дроби: \[ \frac{a(3a - 7)^2}{a(3a - 7)} - \frac{a(7 - 4a)(7 + 4a)}{a(4a - 7)} = (3a - 7) - (-(7 + 4a)) = -a - 14. \] Подставим \(a = -\tfrac{5}{4}\): \[ -\left(-\tfrac{5}{4}\right) - 14 = \tfrac{5}{4} - 14 = -\tfrac{51}{4} = -12{,}75. \] Ответ: \(-12{,}75\).
   
   
8. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC = 9\), \(AC = 6\)). На стороне \(AB\) взята точка \(M\) так, что \(AM = 3\). Найдите квадрат длины отрезка \(MC\).
   Решение: Координаты точек: \(B(0; 6\sqrt{2})\), \(A(-3; 0)\), \(C(3; 0)\). Точка \(M(-2; 2\sqrt{2})\). Расстояние \(MC\): \[ \sqrt{(3 + 2)^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 8} = \sqrt{33} \implies (\sqrt{33})^2 = 33. \] Ответ: 33.
   
   
9. Винни Пух и Пятачок бежали со скоростями \(v\) и \(u\) (\(u > v\)) до встречи за \(1{,}2\) часа. После увеличения скорости в 3 раза их обратный путь занял \(48\) минут. Разница времени без встречи: \[ \frac{S}{v} - \frac{S}{u} = 2. \] Решив систему уравнений, найдем время Винни Пуха: \[ \frac{S}{v} = 4{,}8 \ \text{часа}. \] Ответ: \(4{,}8\).
   
   
10. Найдите наименьшее натуральное число \(k\), такое что \(k^3\) можно представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел.
    Решение: Сумма семи чисел: \[ 7a = k^3 \implies a = \frac{k^3}{7}. \] Минимальное \(k\), кратное 7: \[ k = 7 \implies a = 49. \] Последовательность: \(46, 47, ..., 52\). Проверка: \[ 7 \times 49 = 343 = 7^3. \] Ответ: 7.