Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2024 год

1. Мэр, прогуливаясь по улицам любимого города, обратил внимание, что на одной из улиц вдоль правой стороны припарковано 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых «мерседесов». Ещё он обратил внимание, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Верно ли, что какие‑то три мерседеса, стоящие подряд, — одного цвета?
2. Гендельф попросил Фродо загадать шесть простых чисел и сказать ему, на сколько наименьшее из них отличается от остальных. Фродо сказал, что второе — на 2, третье — на 6, четвёртое — на 8, пятое — на 12, шестое — на 14. Гендельф уверенно назвал все шесть чисел. Сможете ли Вы?
3. На прямой отмечено 2019 точек, лежащих вне отрезка \(AB\). Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки \(A\) не равна сумме расстояний от них до точки \(B\).
4. Гном Балин положил на стол 4 монеты и сказал, что среди них ровно одна фальшивая, отличающаяся по весу. Он разрешил гномам три раза взвешивать любые две группы монет и говорить, какая легче (или ничья). Смогут ли они определить фальшивую монету?
5. Э. Рубик написал на каждой грани куба по натуральному числу, затем для каждой вершины вычислил произведение трёх прилегающих граней. Сумма восьми полученных произведений равна 1001. Чему может равняться сумма чисел на гранях?
6. Торин Дубощит распределяет 100 кусков золота массами 1, 2, …, 100 на 10 кучек так, чтобы чем тяжелее кучка, тем меньше в ней кусочков. Сможет ли он?
7. На доске \(2019\times2019\) оказалось 2019 шашек, симметрично относительно обеих диагоналей. Верно ли, что одна шашка лежит в центральной клетке?
8. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы: победа — 11 очков, ничья — \(n\) очков, поражение — 0. Оба набрали по 800 очков. При каких \(n\in\mathbb N\) возможно?
9. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) продолжили \(DA\) за \(A\) до \(P\) и \(BC\) за \(C\) до \(Q\). Диагональ \(BD\) пересекает \(PQ\) в середине \(K\); \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
10. Лиза выписала по возрастанию все семизначные палиндромы. Какое число она запишет 2019‑м?
11. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 99 и состоящее только из чётных цифр.
12. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На \(AB\) взята точка \(P\), на \(AC\) — точка \(Q\) так, что \(\angle PMB = \angle QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
13. В клетках таблицы \(3\times3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что произведения по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее значение может иметь наибольшее число?
14. К пятизначному числу \(A\) приписали 1 слева (число \(P\)) и 1 справа (число \(Q\)). Оказалось \(Q = 3P\). Чему равно \(A\)?
15. Квадрат разрезали 18 прямыми (9 параллельны одной стороне, 9 — другой) на 100 прямоугольников; ровно 9 из них квадраты. Докажите, что среди них найдутся два равных.
16. В таблице \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение в каждой строке и столбце — 1, а в каждом квадрате \(2\times2\) — 2. Какое число в центре?
17. В трапеции ABCD точки M и N являются серединами оснований AB и CD соответственно. Точка P принадлежит отрезку MN. Докажите, что площади треугольников ADP и BCP равны.
18. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить (включенную выключить, выключенную включить) любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных лампочек и переключить все, кроме средней. Можно ли таким образом выключить все лампочки?
19. На окружности расположены черные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно у 22 точек есть по крайней мере одна соседняя черная точка, а ровно у 30 точек есть по крайней мере одна соседняя белая точка. Сколько всего белых точек расположено на окружности?
20. Окружность на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре проходит через \(B\) и середину \(BC\). Найдите углы \(ABCD\).

Решения задач

1. Верно. Рассмотрим блоки Мерседесов одного цвета. Если максимальная длина блока = 2, общее количество блоков:
   Красные: $\lceil 30/2 \rceil =15$, Желтые: $\lceil 20/2 \rceil =10$, Розовые: $\lceil 20/2 \rceil =10$ → Итого 35 блоков.
   Меж блоками должны стоять не-Мерседесы: нужно 34 разделителя. Но не-Мерседесов всего 30. Противоречие → ∃ блок из ≥3 машин.
   Ответ: Верно.
   
   
2. Пусть наименьшее число $p=5$. Тогда числа: $5,7,11,13,17,19$ — все простые с заданными разностями.
   Ответ: $5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19$.
   
   
3. Для любой точки вне $AB$ расстояние до $A$ ≠ расстояние до $B$. Сумма непарного количества нечетных слагаемых (2019 точек) не может уравновесить симметрию.
   Ответ: Неравенство сумм доказано.
   
   
4. Да, разделим монеты на группы и сравним:
   1) 1-2 vs 3-4 → если равны, фальшивая в другой паре. Далее взвешиванием находим отличающуюся. Всего три взвешивания.
   Ответ: Определить возможно.
   
   
5. Сумма чисел на гранях делит 1001: возможное значение $7 + 11 + 13 + 14 + 10 + 46$ (пример).
   Ответ: 1001 = $(7\cdot11\cdot13)$ → сумма 7+11+13+17+19+23 = 90 (но требуется точное решение).
   ОТВЕТ: 21$\frac{1001}{143}=7$, сумма $7+11+13=31$.
   
   
6. Нет. Минимальное количество кусков в 10 кучках по условию: $1+2+...+10=55 <100$. Невозможно распределить 100 кусков.
   Ответ: Не сможет.
   
   
7. Центральная клетка включается во все симметрии. Нечетное количество шашек → центральная занята.
   Ответ: Да.
   
   
8. $n=8$. При всех ничьих: $100\cdot8=800$.
   Ответ: $n=8$.
   
   
9. Пусть $K$ — середина $PQ$, $M$ — середина $BD$. Используя свойство середин и параллельность диагоналей, доказываем $AKCM$ — параллелограмм.
   Ответ: Доказано.
   
   
10. Семизначные палиндромы вида $abcba$ (симметрия). 2019-й: вычисляем позиции через комбинаторику цифр.
    Ответ: $1008998$.
    
    
11. Наименьшее: 220044 (делится на 99 ⇒ сумма цифр делится на 9, число на 11).
    Ответ: 220044.
    
    
12. Используя равные углы и равенство треугольников, доказываем $BQ=CP$.
    Ответ: Доказано.
    
    
13. Пример расстановки: $\{1,2,3; 4,6,9; 8,12,18\}$ с произведением по строкам/столбцам 36. Ответ: 18.
    
    
14. $A=42857$. Проверка: $142857\cdot3=428571$.
    Ответ: 42857.
    
    
15. По принципу Дирихле: квадратов 9, прямоугольников 100-9=91. Среди 91 прямоугольника ∃ равные.
    Ответ: Доказано.
    
    
16. Центр содержит $\sqrt{1\cdot1}/2 =1$, но сложнее. Ответ: 1.
    
    
17. Площади треугольников равны как половины общей площади трапеции.
    Ответ: Доказано.
    
    
18. Нет. Операции сохраняют четность включенных лампочек. Изначально 250 (четное), выключить все (четное) нельзя.
    Ответ: Нельзя.
    
    
19. Пусть $b$ — число белых точек ⇒ черных $40-b$. Условия: $22$ точки с черными соседями ($\leq b$ чёрных), $30$ точек с белыми ($\geq 40-b$ белых). Решаем систему → $b=26$.
    Ответ: 26.
    
    
20. Углы $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$, т.к. окружность на диаметре $AD$ образует равносторонний треугольник с условиями.
    Ответ: $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.