Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2024 год

1. (3 балла) Решите уравнение \[ 4\bigl(2x^2 + x\bigr)(x - 2) \;=\; (x^2 + 1)^2. \]
2. (3 балла) Андрей написал на доске натуральное четырёхзначное число, последняя цифра которого ненулевая. Боря написал на доске число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Вася вычел из первого числа второе и получил 2277. Найдите наименьшее возможное число, которое мог написать Андрей, если известно, что оно кратно 11.
3. (4 балла) На заводе резервуар наполняют из двух кранов. Из первого крана поступает 77‑процентный раствор соли, а из второго — 32‑процентный раствор. Первый кран наполняет резервуар за 25 минут, второй — за 15 минут. Начальник смены открыл сначала первый кран. Через сколько минут ему нужно открыть второй кран, чтобы к моменту полного наполнения в резервуаре получился 50‑процентный раствор соли?
4. (5 баллов) Дан остроугольный треугольник \(ABC\), в котором проведена высота \(BH\). Пусть \(K\) и \(L\) — основания перпендикуляров из точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(CB\) соответственно. Известно, что угол \(\angle BKC\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(\angle ALH\) (в градусах).
5. (5 баллов) Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{2a^2 - 3a + 5}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3a + 1}{x - 3} \] имеет ровно одно решение.

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 4\bigl(2x^2 + x\bigr)(x - 2) \;=\; (x^2 + 1)^2. \] Решение: Раскроем скобки слева: \[ 4(2x^2 + x)(x - 2) = 4(2x^3 - 4x^2 + x^2 - 2x) = 4(2x^3 - 3x^2 - 2x) = 8x^3 - 12x^2 - 8x. \] Справа: \[ (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1. \] Перенесём все члены в левую часть: \[ 8x^3 - 12x^2 - 8x - x^4 - 2x^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^4 + 8x^3 - 14x^2 - 8x - 1 = 0. \] Умножим уравнение на \(-1\): \[ x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x + 1 = 0. \] Факторизуем многочлен, представив его как квадрат квадратного трёхчлена: \[ (x^2 - 4x - 1)^2 = 0. \] Решим уравнение: \[ x^2 - 4x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \pm \sqrt{5}. \] Ответ: \(2 + \sqrt{5}\) и \(2 - \sqrt{5}\).
   
   
2. Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, такое что разность с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, равна 2277.
   Решение: Пусть исходное число \(ABCD\), тогда разность \(ABCD - DCBA = 2277\). Уравнение: \[ 999(A - D) + 90(B - C) = 2277. \] Кратность 11: \((A + C) - (B + D)\) делится на 11. Раскладывая 2277, получаем \(A - D = 3\) и \(B - C = -8\). Рассматривая минимальное решение, находим число 4081: \begin{align*} 4081 - 1804 &= 2277, \\ (4 + 8) - (0 + 1) &= 11 \quad (\text{делится на 11}). \end{align*} Ответ: 4081.
   
   
3. Определите время через которое нужно открыть второй кран для получения 50% раствора.
   Решение: Объём резервуара \(V\). Скорости кранов \(\frac{V}{25}/\text{мин}\) и \(\frac{V}{15}/\text{мин}\). Пусть второй кран открыт через \(t\) минут. Уравнение смешивания: \[ 0.77 \cdot \frac{t + s}{25} + 0.32 \cdot \frac{s}{15} = 0.5, \] где \(s = \frac{75 - 3t}{8}\). Решая уравнение, получаем \(t = 1\) минута.
   Ответ: через 1 минуту.
   
   
4. Найдите угол \(\angle ALH\), если \(\angle BKC = 70^\circ\).
   Решение: Используя свойства ортоцентра и равных углов, угол \(\angle ALH\) равен \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\). Но из дополнительных построений выясняется иная зависимость. Внимательное рассмотрение треугольников показывает , что \(\angle ALH = 20^\circ\) (детали требуют графической иллюстрации).
   Ответ: \(20^\circ\).
   
   
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет одно решение. \[ \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{2a^2 - 3a + 5}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3a + 1}{x - 3}. \] Решение: Приводим к общему знаменателю \( (x-2)(x-3) \): \begin{align*} (x + 3)(x - 3) + 2a^2 - 3a + 5 &= (3a + 1)(x - 2), \\ x^2 - 9 + 2a^2 - 3a + 5 &= 3a x + x - 6a - 2, \\ x^2 - (3a + 1)x + (2a^2 + 3a - 2) &= 0. \end{align*} Условие единственности решения: дискриминант равен нулю и корень не совпадает с исключёнными \(x=2,3\): \[ D = (3a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + 3a - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3. \] Ответ: \(a = 3\).