Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2024 год

1. (0,5 балла) Решите уравнение \[ 3\frac{1}{9}\;-\;\frac{x}{0{,}72}\;=\;2\frac{7}{12}. \]
   
   
2. (1 балл) Иван Васильевич положил 65000 рублей в банк на годовой вклад «Успешный». Через год после начисления процентов сумма на вкладе стала равна 74100 рублей. Какая сумма будет на вкладе Ивана Васильевича ещё через год?
   
   
3. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \bigl(\sqrt{2}-\sqrt{8}\bigr)^2 \;+\;\sqrt{0{,}15\;\sqrt{240}} \;-\;\bigl(-4\sqrt{0{,}3}\bigr)^2. \]
   
   
4. (1 балл) Сумма квадратов корней уравнения \[ 2x^2 + 5x + c = 0 \] равна \(9\tfrac{1}{4}\). Найдите \(c\).
   
   
5. (1 балл) График линейной функции \(y = kx + b\) не пересекается с прямой \(y = 4x\), а с прямой \(MN\) пересекается в точке, лежащей на оси абсцисс. Найдите \(b\), если \(M(-4,-1)\) и \(N(4,3)\).
   
   
6. (1 балл) Петя и Коля устроили чемпионат по игре «Крестики‑Нолики». Было проведено 15 партий, причём за победу давалось 4 очка, за ничью — 3 очка, за поражение — 1 очко. Сумма очков, набранная обоими мальчиками, оказалась равна 81. Сколько партий было сыграно вничью?
   
   
7. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \frac{\tfrac{a^2}{4}}{\tfrac{a}{12}} \;+\; \frac{\tfrac{b^2}{9}}{\tfrac{b}{18}} \quad\text{при }a=\tfrac{2}{3},\;b=-\tfrac{1}{2}. \]
   
   
8. (1 балл) Диагональ \(AC\) прямоугольника \(ABCD\) равна 12. Известно, что \(\angle DCA\) в пять раз больше \(\angle BCA\). Найдите расстояние от точки \(C\) до диагонали \(BD\).
   
   
9. (1 балл) Черепаха и ёжик начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Они встретились через 50 минут после начала своего движения. Сколько времени (в часах) потребовалось бы черепахе на весь путь, если известно, что ёжик преодолел бы этот путь на 4 часа быстрее черепахи?
   
   
10. (1,5 балла) Вася нашёл наименьшее натуральное число \(X\) такое, что произведение всех натуральных чисел от 1 до \(X\) делится на 2022. Какое число нашёл Вася?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 3\frac{1}{9}\;-\;\frac{x}{0{,}72}\;=\;2\frac{7}{12}. \] Решение: Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}, \quad 2\frac{7}{12} = \frac{31}{12}. \] Уравнение примет вид: \[ \frac{28}{9} - \frac{x}{0{,}72} = \frac{31}{12}. \] Проведем преобразования: \[ \frac{x}{0{,}72} = \frac{28}{9} - \frac{31}{12} = \frac{112}{36} - \frac{93}{36} = \frac{19}{36}. \] Умножим обе части на \(0{,}72\): \[ x = \frac{19}{36} \cdot 0{,}72 = \frac{19 \cdot 72}{36 \cdot 100} = \frac{19 \cdot 2}{100} = 0{,}38. \] Ответ: \(0{,}38\).
   
   
2. Иван Васильевич положил 65000 рублей в банк под 14% годовых. Через год сумма составила 74100 руб. Какая сумма будет через ещё год? Решение: Процентная ставка: \[ \frac{9100}{65000} = 0{,}14 \quad (14\%). \] Через ещё один год: \[ 74100 \cdot 1{,}14 = 84474 \text{ руб}. \] Ответ: \(84474\) руб.
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ \bigl(\sqrt{2}-\sqrt{8}\bigr)^2 \;+\;\sqrt{0{,}15\;\sqrt{240}} \;-\;\bigl(-4\sqrt{0{,}3}\bigr)^2. \] Решение: Упростим поэтапно: \[ (\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2, \] \[ \sqrt{0{,}15 \cdot 4\sqrt{15}} = \sqrt{0{,}6\sqrt{15}}, \] \[ (-4\sqrt{0{,}3})^2 = 16 \cdot 0{,}3 = 4{,}8. \] Подставляя численные приближения: \[ 2 + 1{,}524 - 4{,}8 = -1{,}276. \] Ответ: \(-1{,}276\).
   
   
4. Сумма квадратов корней уравнения \(2x^2 + 5x + c = 0\) равна \(9\tfrac{1}{4}\). Найдите \(c\). Решение: По теореме Виета: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} = \frac{25}{4} - c = \frac{37}{4}. \] Откуда: \[ \frac{25}{4} - c = \frac{37}{4} \quad \Rightarrow \quad c = -3. \] Ответ: \(-3\).
   
   
5. График \(y = kx + b\) параллелен \(y = 4x\) (\(k = 4\)) и пересекает прямую \(MN\) в точке \((-2, 0)\). Уравнение прямой \(MN\) через точки \(M(-4,-1)\) и \(N(4,3)\): \[ y = 0{,}5x + 1. \] Подстановка точки пересечения: \[ 0 = 4 \cdot (-2) + b \quad \Rightarrow \quad b = 8. \] Ответ: \(8\).
   
   
6. Пусть \(x\) — количество ничьих. Сумма очков: \[ 6x + 5(15 - x) = 81 \quad \Rightarrow \quad x = 6. \] Ответ: \(6\).
   
   
7. Упростим выражение: \[ \frac{\tfrac{a^2}{4}}{\tfrac{a}{12}} + \frac{\tfrac{b^2}{9}}{\tfrac{b}{18}} = 3a + 2b. \] Подставляя \(a = \tfrac{2}{3}\), \(b = -\tfrac{1}{2}\): \[ 3 \cdot \tfrac{2}{3} + 2 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = 1. \] Ответ: \(1\).
   
   
8. Углы \(\angle BCA = 15^\circ\), \(\angle DCA = 75^\circ\). Используя свойства прямоугольника и высоту в треугольнике: \[ h = \frac{BC \cdot CD}{BD} = 3. \] Ответ: \(3\).
   
   
9. Пусть время ёжика \(t\), тогда черепахи \(t + 4\). Уравнение движения: \[ \frac{5}{6} \left( \frac{S}{t + 4} + \frac{S}{t} \right) = S \quad \Rightarrow \quad t = 1 \text{ ч}. \] Ответ: \(5\) часов.
   
   
10. Разложим \(2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337\). Наименьшее \(X\), содержащее простой множитель \(337\): Ответ: \(337\).