Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2023 год

1. (2 балла) Решите уравнение \[ 4\bigl(2x^2 + x\bigr)(x - 2) \;=\; (x^2 + 1)^2. \]
2. (2 балла) Андрей написал на доске натуральное четырёхзначное число, последняя цифра которого ненулевая. Боря написал число, составленное теми же цифрами, но в обратном порядке. Вася вычел из первого числа второе и получил 2277. Найдите наименьшее возможное число, которое мог написать Андрей, если известно, что оно кратно 11.
3. (2 балла) На заводе резервуар наполняют из двух кранов. Из первого крана поступает 77‑процентный раствор соли, а из второго — 32‑процентный. Первый кран наполняет резервуар за 25 минут, второй — за 15 минут. Начальник смены открыл сначала первый кран. Через сколько минут ему нужно открыть второй кран, чтобы к моменту полного наполнения в резервуаре получился 50‑процентный раствор соли?
4. (2 балла) Дан остроугольный треугольник \(ABC\), в котором проведена высота \(BH\). Пусть \(K\) и \(L\) — основания перпендикуляров из точки \(H\) на стороны \(AB\) и \(CB\) соответственно. Известно, что \(\angle BKC = 70^\circ\). Найдите угол \(\angle ALH\) (в градусах).
5. (2 балла) Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \frac{x + 3}{x - 2} \;+\; \frac{2a^2 - 3a + 5}{x^2 - 5x + 6} \;=\; \frac{3a + 1}{x - 3} \] имеет ровно одно решение.

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 4\bigl(2x^2 + x\bigr)(x - 2) \;=\; (x^2 + 1)^2. \] Решение: Раскроем скобки в левой части: \[ 4(2x^3 - 4x^2 + x^2 - 2x) = 4(2x^3 - 3x^2 - 2x) = 8x^3 - 12x^2 - 8x \] Правая часть: \[ (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \] Переносим все слагаемые в левую часть и упрощаем: \[ 8x^3 - 12x^2 - 8x - x^4 - 2x^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x + 1 = 0 \] Проверяем рациональные корни. Подстановкой убеждаемся, что \( x = 1 \) является корнем. Делим многочлен на \( (x - 1) \): \[ (x - 1)(x^3 - 7x^2 + 7x + 1) = 0 \] Повторной подстановкой проверяем \( x = 1 \) для кубического уравнения. Корень снова \( x = 1 \). Окончательное разложение: \[ (x - 1)^2(x^2 - 6x - 1) = 0 \] Решения квадратного уравнения \( x^2 - 6x - 1 = 0 \): \[ x = 3 \pm \sqrt{10} \] Ответ: \( x = 1 \) (двойной корень), \( x = 3 + \sqrt{10} \), \( x = 3 - \sqrt{10} \).
   
   
2. Найдите наименьшее четырёхзначное число Андрея, краное 11, если разность его числа и числа Бори равна 2277.
   Решение: Пусть число Андрея — \( \overline{abcd} \), тогда число Бори — \( \overline{dcba} \). Условие разности: \[ \overline{abcd} - \overline{dcba} = 2277 \] Разложим числа: \[ 1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a) = 999a + 90b - 90c - 999d = 2277 \] Делим на 9: \[ 111(a - d) + 10(b - c) = 253 \] Условие кратности 11: \[ (a + c) - (b + d) \equiv 0 \; (\text{mod} \; 11) \] Наименьшее решение при \( a = 4, d = 1, b = 0, c = 8 \): Число Андрея: \( 4081 \). Проверка: \( 4081 - 1804 = 2277 \).
   Ответ: 4081.
   
   
3. Время включения второго крана для получения 50% раствора.
   Решение: Общий объём резервуара приравняем к 1. Скорости кранов: первый — \( \frac{1}{25} \), второй — \( \frac{1}{15} \) в минуту. Пусть второй кран открыт \( t \) минут. Уравнение объёма: \[ \frac{t}{25} + \frac{25 - t}{15} = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 10 \] Уравнение концентрации: \[ 0.77 \cdot \frac{t}{25} + 0.32 \cdot \frac{25 - t}{15} = 0.5 \] Решая систему, находим \( t = 10 \). Ответ: через 10 минут.
   
   
4. Найдите угол \( \angle ALH \), если \( \angle BKC = 70^\circ \).
   Решение: Точечные проекции образуют прямоугольники, углы в треугольнике учитывают свойства высот и перпендикуляров. Угол \( \angle ALH \) равен \( 70^\circ \) как соответствующий углу \( \angle BKC \).
   Ответ: \( 70^\circ \).
   
   
5. Найдите параметр \( a \) для единственного решения уравнения. \[ \frac{x + 3}{x - 2} + \frac{2a^2 - 3a + 5}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3a + 1}{x - 3} \] Решение: Приведём к общему знаменателю \( (x - 2)(x - 3) \). После преобразований уравнение: \[ (x + 3)(x - 3) + 2a^2 - 3a + 5 = (3a + 1)(x - 2) \] Упростим: \[ x^2 - 9 + 2a^2 - 3a + 5 = (3a + 1)x - 2(3a + 1) \] Получаем квадратное уравнение относительно \( x \). Дискриминант должен быть равен нулю для единственного решения. Также проверяем исключение посторонних корней через ОДЗ. Решая для \( a \), получаем \( a = 1 \) и \( a = \frac{5}{2} \).
   Ответ: \( a = 1 \), \( a = \frac{5}{2} \).