Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2023 год

1. (0,5 балла) Решите уравнение \[ 3\frac{1}{9} - \frac{x}{0{,}72} = 2\frac{7}{12}. \]
2. (0,5 балла) Иван Васильевич положил 65000 рублей в банк на годовой вклад «Успешный». Через год после начисления процентов сумма на вкладе стала равна 74100 руб. Какая сумма будет на вкладе Ивана Васильевича ещё через год?
3. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \bigl(\sqrt{2} - \sqrt{8}\bigr)^2 + \sqrt{0{,}15\cdot\sqrt{240}} - \bigl(-4\sqrt{0{,}3}\bigr)^2. \]
4. (1 балл) Сумма квадратов корней уравнения \[ 2x^2 + 5x + c = 0 \] равна \(9\tfrac{1}{4}\). Найдите \(c\).
5. (1 балл) График линейной функции \(y = kx + b\) не пересекается с прямой \(y = 4x\), а с прямой \(MN\) пересекается в точке, лежащей на оси абсцисс. Найдите \(b\), если \(M(-4,-1)\) и \(N(4,3)\).
6. (1 балл) Петя и Коля устроили чемпионат по игре «Крестики‑Нолики». Было проведено 15 партий, причём за победу давалось 4 очка, за ничью — 3 очка, за поражение — 1 очко. Сумма очков, набранная обоими мальчиками, оказалась равна 81. Сколько партий было сыграно вничью?
7. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \frac{\tfrac{a^2}{4}-\tfrac{b^2}{9}} {\tfrac{a}{12}+{\tfrac{b}{18}}}, \quad\text{при }a=\tfrac{2}{3},\;b=-\tfrac{1}{2}. \]
8. (1 балл) Диагональ \(AC\) прямоугольника \(ABCD\) равна 12. Известно, что \(\angle DCA\) в 5 раз больше \(\angle BCA\). Найдите расстояние от точки \(C\) до диагонали \(BD\).
9. (1 балл) Черепаха и ёжик начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Они встретились через 50 минут после начала движения. Сколько времени (в часах) потребовалось бы черепахе на весь путь, если известно, что ёжик прошёл бы этот путь на 4 часа быстрее черепахи?
10. (2 балла) Вася нашёл наименьшее натуральное число \(X\) такое, что произведение всех натуральных чисел от 1 до \(X\) делится на 2022. Какое число нашёл Вася?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 3\frac{1}{9} - \frac{x}{0{,}72} = 2\frac{7}{12}. \]
   Решение: Приведём смешанные дроби к неправильным: \[ 3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}; \quad 2\frac{7}{12} = \frac{31}{12}. \] Уравнение принимает вид: \[ \frac{28}{9} - \frac{25x}{18} = \frac{31}{12}. \] Выразим \(x\): \[ \frac{25x}{18} = \frac{28}{9} - \frac{31}{12} = -\frac{19}{36} \implies x = \frac{19}{50} = 0{,}38. \]
   Ответ: 0,38.
2. Иван Васильевич положил 65000 рублей в банк. Через год сумма на вкладе стала 74100 рублей. Какая сумма будет через ещё год?
   Решение: Процентная ставка: \[ \frac{74100 - 65000}{65000} = 0{,}14 \quad (14\%). \] Через второй год сумма составит: \[ 74100 \cdot 1{,}14 = 84474 \text{ руб.} \]
   Ответ: 84474 рубля.
3. Найдите значение выражения: \[ \bigl(\sqrt{2} - \sqrt{8}\bigr)^2 + \sqrt{0{,}15\cdot\sqrt{240}} - \bigl(-4\sqrt{0{,}3}\bigr)^2. \]
   Решение: \[ (\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = 2; \quad \sqrt{0{,}15 \cdot 4\sqrt{15}} \approx 1{,}524; \quad (-4\sqrt{0{,}3})^2 = 4{,}8. \] В результате: \[ 2 + 1{,}524 - 4{,}8 = -1{,}276 \approx -1{,}28. \]
   Ответ: -1,28.
4. Сумма квадратов корней уравнения \(2x^2 + 5x + c = 0\) равна \(9\tfrac{1}{4}\). Найдите \(c\).
   Решение: По теореме Виета: \[ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{c}{2} = \frac{25}{4} - c = \frac{37}{4} \implies c = -3. \]
   Ответ: -3.
5. Найдите \(b\), если прямая \(y = kx + b\) не пересекается с \(y = 4x\) и пересекается с прямой MN на оси абсцисс (M(-4,-1), N(4,3)).
   Решение: Уравнение прямой MN: \[ y = 0{,}5x + 1. \] Точка пересечения: \(-8 + b = 0 \implies b = 8\).
   Ответ: 8.
6. Сколько партий сыграно вничью, если сумма очков равна 81?
   Решение: \(x\) — победы, \(y\) — ничьи: \[ \begin{cases} x + y = 15 \\ 5x + 6y = 81 \end{cases} \implies y = 6. \]
   Ответ: 6.
7. Найдите значение выражения: \[ \frac{\tfrac{a^2}{4}-\tfrac{b^2}{9}}{\tfrac{a}{12}+{\tfrac{b}{18}}} \quad (a=\tfrac{2}{3},\;b=-\tfrac{1}{2}). \]
   Решение: Подставляя значения: \[ \frac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{1}{36}} = 3. \]
   Ответ: 3.
8. Найдите расстояние от точки \(C\) до диагонали \(BD\) в прямоугольнике \(ABCD\) (\(AC = 12\), \(\angle DCA = 5\angle BCA\)).
   Решение: Углы \(\angle BCA = 15^\circ\), \(\angle DCA = 75^\circ\). По теореме площадей: \[ S_{CBD} = \frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{BD \cdot h}{2} \implies h = 3. \]
   Ответ: 3.
9. Время черепахи на весь путь:
   Решение: Пусть \(t\) — время черепахи (часы). Уравнение: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t-4} = \frac{6}{5} \implies t = 5. \]
   Ответ: 5 часов.
10. Наименьшее \(X\) такое, что \(X!\) делится на 2022:
    Решение: Разложение 2022: \(2 \cdot 3 \cdot 337\). Минимальное \(X = 337\).
    Ответ: 337.