Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2022 год

12.05.2022

1. Решите уравнение: \[ (5,8 - x) : 1,4 = \frac{8}{7}. \]
   
   
2. Ленту длиной 60 м разделили в отношении 2:3, а затем от меньшей части отрезали 0,4 её длины. Сколько процентов от всей длины ленты составляет длина меньшей из полученных частей?
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{\sqrt{8,5}}{\sqrt{0,672 - 0,33^2}}. \]
   
   
4. Один из корней квадратного уравнения \[ 5x^2 - 12x + k = 0 \] в 5 раз больше другого. Найдите коэффициент $k$.
   
   
5. График линейной функции $y = kx + b$ проходит через точки $A(-3; 8)$ и $B(4; -6)$. Найдите сумму координат точки пересечения этого графика с прямой $y = -3x + 1$.
   
   
6. Бутылка с водой, заполненная лишь на одну шестую часть объёма, имеет массу 570 г. Если долить воды до двух третей объёма бутылки, то масса бутылки с водой составит 780 г. Какова масса пустой бутылки в граммах?
   
   
7. Найдите значение дроби: \[ (b-1)^2\left( \frac{1}{b^2-2b+1} + \frac{1}{b^2-1} \right) - \frac{2}{b+1} \] при $b = 0,947$.
   
   
8. Высота ромба равна 4. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите другую диагональ.
   
   
9. Наездник должен преодолеть расстояние от города $A$ до города $B$ за определённое время. Если его скорость будет 15 км/ч, то наездник опоздает на 0,5 часа, а если 18 км/ч, то он прибудет в город на 12 минут раньше назначенного времени. Определите расстояние между городами $A$ и $B$.
   
   
10. Тимур Ринатович заменил буквы $A$ и $B$ в числе 3A45B на цифры и получил наибольшее число такого вида, которое делится на 36. Какое число получил Тимур Ринатович?
    
    

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ (5,8 - x) : 1,4 = \frac{8}{7}. \] Решение: \[ (5,8 - x) : 1,4 = \frac{8}{7} \quad \Rightarrow \quad 5,8 - x = \frac{8}{7} \cdot 1,4 = 1,6 \quad \Rightarrow \quad x = 5,8 - 1,6 = 4,2. \] Ответ: 4,2.
2. Ленту длиной 60 м разделили в отношении 2:3, а затем от меньшей части отрезали 0,4 её длины. Сколько процентов от всей длины ленты составляет длина меньшей из полученных частей?
   Решение: Меньшая часть после деления: $\frac{2}{5} \cdot 60 = 24$ м. Оставшаяся часть: $24 - 0,4 \cdot 24 = 14,4$ м.
   Процент от всей длины: $\frac{14,4}{60} \cdot 100% = 24\%$.
   Ответ: 24\%.
3. Вычислите: \[ \frac{\sqrt{8,5}}{\sqrt{0,672 - 0,33^2}}. \] Решение: \[ 0,33^2 = 0,1089 \quad \Rightarrow \quad 0,672 - 0,1089 = 0,5631. \] \[ \frac{\sqrt{8,5}}{\sqrt{0,5631}} \approx \frac{2,915}{0,7504} \approx 3,88. \] Ответ: 3,88.
4. Один из корней квадратного уравнения \[ 5x^2 - 12x + k = 0 \] в 5 раз больше другого. Найдите коэффициент $k$.
   Решение: Пусть корни $x_1 = 5x_2$. По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = \frac{12}{5} \quad \Rightarrow \quad 6x_2 = \frac{12}{5} \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{2}{5}, \quad x_1 = 2. \] \[ k = 5 \cdot x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 2 \cdot \frac{2}{5} = 4. \] Ответ: 4.
5. График линейной функции $y = kx + b$ проходит через точки $A(-3; 8)$ и $B(4; -6)$. Найдите сумму координат точки пересечения этого графика с прямой $y = -3x + 1$.
   Решение: \[ \begin{cases} 8 = -3k + b \\ -6 = 4k + b \end{cases} \quad \Rightarrow \quad k = -2, \quad b = 2. \] Точка пересечения: \[ -2x + 2 = -3x + 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \quad y = 4. \] Сумма координат: $-1 + 4 = 3$.
   Ответ: 3.
6. Бутылка с водой, заполненная лишь на одну шестую часть объёма, имеет массу 570 г. Если долить воды до двух третей объёма бутылки, то масса бутылки с водой составит 780 г. Какова масса пустой бутылки в граммах?
   Решение: Пусть масса бутылки $m$, объём $V$: \[ \begin{cases} m + \frac{1}{6}V = 570 \\ m + \frac{2}{3}V = 780 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}V = 210 \quad \Rightarrow \quad V = 420. \] \[ m = 570 - \frac{1}{6} \cdot 420 = 500. \] Ответ: 500 г.
7. Найдите значение дроби: \[ (b-1)^2\left( \frac{1}{b^2-2b+1} + \frac{1}{b^2-1} \right) - \frac{2}{b+1} \] при $b = 0,947$.
   Решение: Упростим выражение: \[ (b-1)^2 \left( \frac{1}{(b-1)^2} + \frac{1}{(b-1)(b+1)} \right) - \frac{2}{b+1} = 1 + \frac{b-1}{b+1} - \frac{2}{b+1} = \frac{2(b-1)}{b+1}. \] Подставляем $b = 0,947$: \[ \frac{2(0,947 - 1)}{0,947 + 1} \approx -0,054. \] Ответ: -0,054.
8. Высота ромба равна 4. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите другую диагональ.
   Решение: Пусть сторона $a$, диагонали $d_1 = a$ и $d_2$. Площадь ромба: \[ a \cdot 4 = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \quad \Rightarrow \quad 4a = \frac{a \cdot d_2}{2} \quad \Rightarrow \quad d_2 = 8. \] Ответ: 8.
9. Наездник должен преодолеть расстояние от города $A$ до города $B$ за определённое время. Если его скорость будет 15 км/ч, то наездник опоздает на 0,5 часа, а если 18 км/ч, то он прибудет в город на 12 минут раньше назначенного времени. Определите расстояние между городами $A$ и $B$.
   Решение: Пусть расстояние $S$, назначенное время $t$: \[ \begin{cases} \frac{S}{15} = t + 0,5 \\ \frac{S}{18} = t - 0,2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{15} - \frac{S}{18} = 0,7 \quad \Rightarrow \quad S = 63. \] Ответ: 63 км.
10. Тимур Ринатович заменил буквы $A$ и $B$ в числе 3A45B на цифры и получил наибольшее число такого вида, которое делится на 36. Какое число получил Тимур Ринатович?
    Решение: Число должно делиться на 4 и 9. Последние две цифры 5B должны делиться на 4: $B = 6$. Максимизируем $A$: \[ 3 + A + 4 + 5 + 6 = 18 + A \quad \Rightarrow \quad A = 9. \] Получаем число 39456.
    Ответ: 39456.