Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2022 год

1. Решите уравнение: \[ \bigl((x+1)^2 - 5\bigr)^2 \;=\; 9\,(x^2 + 2x). \]
   
   
2. Найдите всевозможные остатки при делении чисел вида \(n^2 + 3n\), где \(n\in\mathbb N\), на 7.
   
   
3. Из точки \(A\) круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два пешехода. Первый пешеход к моменту их встречи проходит на 100 м больше, чем второй, и возвращается в точку \(A\) через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы, если второй пешеход возвращается в точку \(A\) через 16 минут после встречи.
   
   
4. Медианы \(AN\) и \(CK\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(T\). На лучах \(AN\) и \(CK\) выбраны, соответственно, точки \(E\) и \(L\) так, что \(LE\parallel AC\). Найдите площадь четырёхугольника \(ALEC\), если точка \(B\) лежит на прямой \(LE\), а площадь четырёхугольника \(BKTN\) равна \(\tfrac{2}{3}\).
   
   
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых решение системы \[ \begin{cases} x + 2y = 4a - 1,\\ 2x - y = 3a + 1 \end{cases} \] удовлетворяет неравенству \[ x - \lvert y\rvert > 1. \]

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \bigl((x+1)^2 - 5\bigr)^2 \;=\; 9\,(x^2 + 2x). \]
   Решение: \[ ((x+1)^2 - 5)^2 = 9(x^2 + 2x) \] Преобразуем левую часть: \[ (x^2 + 2x - 4)^2 = 9(x^2 + 2x) \] Введём замену \( y = x^2 + 2x \): \[ (y - 4)^2 = 9y \quad \Rightarrow \quad y^2 - 17y + 16 = 0 \] Корни уравнения: \[ y_1 = 16, \quad y_2 = 1 \] Возвращаемся к исходной переменной: Случай \( y = 16 \): \[ x^2 + 2x = 16 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 16 = 0 \] \[ D = 4 + 64 = 68 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \pm \sqrt{17} \] Случай \( y = 1 \): \[ x^2 + 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 1 = 0 \] \[ D = 4 + 4 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \pm \sqrt{2} \] Ответ: \(-1 \pm \sqrt{17}, \quad -1 \pm \sqrt{2}\).
   
   
2. Найдите всевозможные остатки при делении чисел вида \(n^2 + 3n\), где \(n\in\mathbb N\), на 7.
   Решение: Анализ остатков при делении \( n \) на 7 (\(k = 0, 1, ..., 6\)): \[ \begin{aligned} &\begin{array}{c|c|c|c} n \mod 7 & n^2 \mod 7 & 3n \mod 7 & (n^2 + 3n) \mod 7 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 3 \\ 3 & 2 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 5 & 0 \\ 5 & 4 & 1 & 5 \\ 6 & 1 & 4 & 5 \\ \end{array} \end{aligned} \] Возможные остатки: 0, 3, 4, 5. Ответ: 0, 3, 4, 5.
   
   
3. Из точки \(A\) круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два пешехода. Первый пешеход к моменту их встречи проходит на 100 м больше, чем второй, и возвращается в точку \(A\) через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы, если второй пешеход возвращается в точку \(A\) через 16 минут после встречи.
   Решение: Пусть \( L \) — длина трассы (м), \( v_1 \) и \( v_2 \) — скорости пешеходов (м/мин). До встречи первый прошёл \( S_1 \), второй \( S_2 \): \[ S_1 - S_2 = 100, \quad t(v_1 - v_2) = 100 \] Общий путь: \[ S_1 + S_2 = L \quad \Rightarrow \quad t(v_1 + v_2) = L \] После встречи: \[ L - S_1 = 9v_1, \quad L - S_2 = 16v_2 \] Из последних уравнений выразим \( L \): \[ L = v_1(t + 9), \quad L = v_2(t + 16) \] Приравниваем и находим: \[ \frac{v_1}{v_2} = \frac{t + 16}{t + 9} \] Из условия \( t(v_1 - v_2) = 100 \) и \( t(v_1 + v_2) = L \), находим \( t = 12 \) мин, \( L = 700 \) м. Ответ: 700 м.
   
   
4. Медианы \( AN \) и \( CK \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \(T\). На лучах \( AN \) и \( CK \) выбраны, соответственно, точки \( E \) и \( L \) так, что \( LE\parallel AC \). Найдите площадь четырёхугольника \( ALEC \), если точка \(B\) лежит на прямой \(LE \), а площадь четырёхугольника \( BKTN \) равна \(\tfrac{2}{3}\).
   Решение: Используя свойства медиан и параллельность \( LE \parallel AC \), координатный метод показывает, что площадь \( ALEC \) связана с площадью \( BKTN \). Координаты точек и расчёты дают соотношение \( cb = 1 \), где \( c \) и \( b \) — параметры треугольника. Площадь \( ALEC = 6bc = 6 \cdot 1 = 6 \). Ответ: 6.
   
   
5. Найдите все значения параметра \( a \), при которых решение системы \[ \begin{cases} x + 2y = 4a - 1,\\ 2x - y = 3a + 1 \end{cases} \] удовлетворяет неравенству \[ x - \lvert y\rvert > 1. \]
   Решение: Решаем систему: \[ x = 2a + 0.2, \quad y = a - 0.6 \] Условие \( x - |y| > 1 \): \[ 2a + 0.2 - |a - 0.6| > 1 \] Разберём два случая: Случай \( a \ge 0.6 \): \[ 2a + 0.2 - (a - 0.6) > 1 \quad \Rightarrow \quad a > 0.2 \Rightarrow a \ge 0.6 \] Случай \( a < 0.6 \): \[ 2a + 0.2 + (a - 0.6) > 1 \quad \Rightarrow \quad 3a > 1.4 \quad \Rightarrow \quad a > \frac{7}{15} \] Объединяя результаты: \[ a > \frac{7}{15} \quad (\approx 0.4667) \] Ответ: \( a \in \left( \frac{7}{15}, +\infty \right) \).