Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2022 год

1. Решите уравнение: \[ 0{,}04t = 1\tfrac{1}{4} \;-\; 14{,}05. \]
2. В 100 г 20%-ного раствора кислоты добавили 300 г 10%-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.
3. Вычислите: \[ (3 - 2\sqrt{3})\sqrt{21} \;+\; 12\sqrt{3}. \]
4. Сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 - 4x + a = 0 \] равна 16. Найдите \(a\).
5. Графиком функции \(y = f(x)\) является ломаная \(ABC\), где \(A(-2,1)\), \(B(1,2)\) и \(C(4,1)\). Решите уравнение \[ f(x) = \frac{x}{3}. \]
6. Сколько натуральных делителей имеет число \(2^3 \cdot 3^4\)?
7. Найдите значение выражения \[ \frac{9a^2 - 24ab + 16b^2 - 25}{3a - 4b - 5} \] при \(a = 0{,}1\) и \(b = 0{,}25\).
8. Наибольший угол прямоугольной трапеции равен \(120^\circ\), большая боковая сторона равна 10. Найдите разность оснований.
9. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
10. Сумма двух натуральных чисел равна 101. Разность квадратов этих чисел — простое число. Найдите произведение этих чисел.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 0{,}04t = 1\tfrac{1}{4} \;-\; 14{,}05. \] Решение: Преобразуем дроби: \[ 1\tfrac{1}{4} = 1{,}25 \] Подставим в уравнение: \[ 0{,}04t = 1{,}25 - 14{,}05 = -12{,}8 \] Решаем: \[ t = \frac{-12{,}8}{0{,}04} = -320 \] Ответ: \(-320\).
   
   
2. В 100г 20%-ного раствора кислоты добавили 300г 10%-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.
   Решение: Масса кислоты в первом растворе: \[ \frac{20}{100} \cdot 100 = 20 \text{ г} \] Во втором растворе: \[ \frac{10}{100} \cdot 300 = 30 \text{ г} \] Общая масса смеси: \[ 100 + 300 = 400 \text{ г} \] Концентрация: \[ \frac{20 + 30}{400} = 0{,}125 \implies 12{,}5\% \] Ответ: \(12{,}5\%\).
   
   
3. Вычислите: \[ (3 - 2\sqrt{3})\sqrt{21} \;+\; 12\sqrt{3}. \] Решение: \[ 3\sqrt{21} - 2\sqrt{63} + 12\sqrt{3} = 3\sqrt{21} - 2 \cdot 3\sqrt{7} + 12\sqrt{3} = 3\sqrt{21} - 6\sqrt{7} + 12\sqrt{3} \] Ответ: \(3\sqrt{21} - 6\sqrt{7} + 12\sqrt{3}\).
   
   
4. Сумма квадратов корней уравнения \[ x^2 - 4x + a = 0 \] равна 16. Найдите \(a\).
   Решение: Пусть корни \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 4, \quad x_1x_2 = a \] Сумма квадратов: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2a = 16 \implies 2a = 0 \implies a = 0 \] Ответ: \(0\).
   
   
5. Графиком функции \(y = f(x)\) является ломаная \(ABC\), где \(A(-2,1)\), \(B(1,2)\) и \(C(4,1)\). Решите уравнение \[ f(x) = \frac{x}{3}. \] Решение: Рассмотрим отрезки \(AB\) и \(BC\). Для \(AB\) (от \(-2\) до \(1\)): \[ y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \] Для \(BC\) (от \(1\) до \(4\)): \[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} \] Решаем для отрезка \(BC\): \[ -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3} = \frac{x}{3} \implies -x + 7 = x \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} \] Ответ: \(\frac{7}{2}\).
   
   
6. Сколько натуральных делителей имеет число \(2^3 \cdot 3^4\)?
   Решение: Число делителей: \[ (3 + 1)(4 + 1) = 4 \cdot 5 = 20 \] Ответ: \(20\).
   
   
7. Найдите значение выражения \[ \frac{9a^2 - 24ab + 16b^2 - 25}{3a - 4b - 5} \] при \(a = 0{,}1\) и \(b = 0{,}25\).
   Решение: Числитель: \[ (3a - 4b)^2 - 25 = (3a - 4b - 5)(3a - 4b + 5) \] Эквивалентное выражение: \[ 3a - 4b + 5 = 3(0{,}1) - 4(0{,}25) + 5 = 0{,}3 - 1 + 5 = 4{,}3 \] Ответ: \(4{,}3\).
   
   
8. Наибольший угол прямоугольной трапеции равен \(120^\circ\), большая боковая сторона равна 10. Найдите разность оснований.
   Решение: Проекция боковой стороны на основание: \[ 10 \cdot \cos{30^\circ} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] Ответ: \(5\sqrt{3}\).
   
   
9. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. Найдите время заполнения тремя насосами.
   Решение: Система уравнений: \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{9}, \quad \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{14}, \quad \frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{1}{18} \] Суммируем уравнения: \[ 2\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18} = \frac{5}{42} \] Время заполнения: \[ \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{5}{84} \implies \text{Время} = \frac{84}{5} = 16{,}8 \, \text{минут}. \] Ответ: \(16{,}8\).
   
   
10. Сумма двух натуральных чисел равна 101. Разность квадратов этих чисел — простое число. Найдите произведение этих чисел.
    Решение: Пусть числа \(a\) и \(b\): \[ a + b = 101, \quad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 101(a - b) \] Простое число при \(a - b = 1\): \[ a = 51, \quad b = 50 \implies a \cdot b = 51 \cdot 50 = 2550 \] Ответ: \(2550\).