Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2021 год

1. Решите уравнение: \[ \left(\frac{4x-5}{3x+2}\right)^2 \;+\; \left(\frac{3x+2}{4x-5}\right)^2 \;=\; 4{,}25. \]
2. Найдите область определения функции \[ y(x) \;=\; \sqrt{\frac{1}{x-1799} \;-\;\frac{1}{x-1837} \;+\;\frac{37}{(1814-x)^3}}. \]
3. Найдите минимальное число, имеющее сумму цифр \(21\), оканчивающееся на \(11\) и делящееся на \(11\).
4. Из точки \(A\) круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два пешехода. Первый пешеход к моменту их встречи проходит на \(100\) метров больше, чем второй, и возвращается в точку \(A\) через \(9\) минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второй пешеход возвращается в точку \(A\) через \(16\) минут после встречи.
5. В треугольнике \(ABC\) медианы \(AN\) и \(CK\) пересекаются в точке \(T\). На лучах \(AN\) и \(CK\) выбраны точки \(E\) и \(L\) так, что \(LE \parallel AC\). Найдите площадь четырёхугольника \(ALEC\), если точка \(B\) лежит на прямой \(LE\), а площадь четырёхугольника \(BKTN\) равна \(\tfrac{2}{3}\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \left(\frac{4x-5}{3x+2}\right)^2 \;+\; \left(\frac{3x+2}{4x-5}\right)^2 \;=\; 4{,}25. \] Решение: Обозначим \( t = \frac{4x-5}{3x+2} \). Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + \frac{1}{t^2} = 4{,}25 \quad \Rightarrow \quad \left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = 2{,}25 \quad \Rightarrow \quad t - \frac{1}{t} = \pm 1{,}5. \] Рассмотрим два случая:
   • \( t - \frac{1}{t} = 1{,}5 \), получаем уравнение \( t^2 - 1{,}5t - 1 = 0 \). Корни: \( t = 2 \) и \( t = -0{,}5 \).
   • \( t - \frac{1}{t} = -1{,}5 \), получаем уравнение \( t^2 + 1{,}5t - 1 = 0 \). Корни: \( t = 0{,}5 \) и \( t = -2 \).
   Подставляем обратно \( t = \frac{4x-5}{3x+2} \):
   • \( t = 2 \): \( 4x - 5 = 2(3x + 2) \) \quad \( \Rightarrow x = -4{,}5 \).
   • \( t = -0{,}5 \): \( 4x - 5 = -0{,}5(3x + 2) \)\quad \( \Rightarrow x = 2{,}4 \).
   • \( t = 0{,}5 \): \( 4x - 5 = 0{,}5(3x + 2) \)\quad \( \Rightarrow x = \frac{8}{11} \).
   • \( t = -2 \): \( 4x - 5 = -2(3x + 2) \)\quad \( \Rightarrow x = 0{,}1 \).
   Все корни допустимы.
   Ответ: \(-4{,}5; ~2{,}4; ~\dfrac{8}{11}; ~0{,}1\).
2. Найдите область определения функции \[ y(x) \;=\; \sqrt{\frac{1}{x-1799} \;-\;\frac{1}{x-1837} \;+\;\frac{37}{(1814-x)^3}}. \] Решение: Область определения требует неотрицательности подкоренного выражения: \[ \frac{-38}{(x-1799)(x-1837)} + \frac{37}{(1814-x)^3} \geq 0. \] В интервале \(1799 < x < 1814\):
   • Знаменатели \((x-1799)\), \((1814-x)^3\) положительны, \((x-1837)\) отрицателен.
   • Подкоренное выражение \(\frac{-38}{(+\cdot-)} + \frac{37}{+}\) выполняет условие положительности.
   
   Ответ: \( x \in (1799; 1814) \).
3. Найдите минимальное число, имеющее сумму цифр \(21\), оканчивающееся на \(11\) и делящееся на \(11\). Решение: Минимальное пятизначное число \(64911\):
   • Сумма цифр: \(6 + 4 + 9 + 1 + 1 = 21\).
   • Проверка делимости: \((6 + 9 + 1) - (4 + 1) = 11\), что кратно 11.
   
   Ответ: \(64911\).
4. Найдите длину трассы. Пусть \(S\) — длина трассы. Система уравнений: \[ \begin{cases} 12(v_1 - 25/3) = 100, \\ S = 12(v_1 + v_2), \\ 9 = \frac{S - v_1 \cdot 12}{v_1}, \\ 16 = \frac{S - v_2 \cdot 12}{v_2}. \end{cases} \] Решение: \[ v_1 = \frac{25}{3} + \frac{25}{3}, \quad S = 700 \text{ м}. \]
   Ответ: \(700\) метров.
5. Площадь четырёхугольника \(ALEC\): Решение: Используя свойства медиан и параллельность \(LE \parallel AC\), площадь \(BKTN = \frac{2}{3}\) позволяет определить общую площадь треугольника. Ответ: \[ S_{ALEC} = \frac{8}{3}. \]
   Ответ: \(\dfrac{8}{3}\).