Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2021 год

1. Решите уравнение: \[ \frac{7}{12}\,\bigl(\tfrac{1}{6}+x\bigr) = -0,175. \]
2. Магазин накануне праздника проводит акцию. Любое платье стоит 3000 рублей, и при покупке двух платьев на второе платье действует скидка 60%. Во сколько рублей обойдётся покупка двух платьев, если воспользоваться условиями акции?
3. Найдите значение выражения \[ \sqrt{(4\sqrt{3}-7)^2 + (2+\sqrt{3})^2}. \]
4. Число \(2\) является корнем уравнения \(p x^2 + x - 18 = 0\). Найдите сумму корней этого уравнения.
5. Найдите расстояние от точки пересечения графиков функций \(y=3x+11\) и \(y=-2x-14\) до прямой, заданной уравнением \(x=1\).
6. Полностью потратив некоторую сумму денег, можно купить или 4 ластика, или 12 тетрадей. Сколько наборов, состоящих из одного ластика и одной тетради, можно приобрести за те же деньги?
7. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x=\tfrac{5}{18}\): \[ \Bigl(\frac{x}{5x+1}+1\Bigr)\;\cdot\;\frac{1-25x^2}{36x^2-1}\;-\;\frac{5x}{1-6x}. \]
8. В прямоугольной трапеции один из углов равен \(45^\circ\), меньшее основание равно 11, а большая боковая сторона равна \(6\sqrt{2}\). Найдите площадь трапеции.
9. Собственная скорость лодки и скорость течения — обратные величины и измеряются в \(\mathrm{км/ч}\). Лодка проплыла против течения 30 километров за 8 часов. Найдите скорость лодки по течению.
10. Найдите сумму всех значений параметра \(a\), при которых уравнение \[ a^2x - 4ax - a^3 = -3x -9a - a^2 + 9 \] имеет не менее двух корней.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{7}{12}\,\left(\frac{1}{6}+x\right) = -0,175 \] Решение: \[ -0,175 = -\frac{7}{40} \\ \frac{7}{12}\left(\frac{1}{6}+x\right) = -\frac{7}{40} \\ \frac{1}{6} + x = -\frac{7}{40} : \frac{7}{12} = -\frac{12}{40} = -\frac{3}{10} \\ x = -\frac{3}{10} - \frac{1}{6} = -\frac{9}{30} - \frac{5}{30} = -\frac{14}{30} = -\frac{7}{15} \] Ответ: $-\dfrac{7}{15}$.
2. Магазин накануне праздника проводит акцию. Любое платье стоит 3000 рублей, и при покупке двух платьев на второе платье действует скидка 60\%. Во сколько рублей обойдётся покупка двух платьев, если воспользоваться условиями акции?
   Решение: Стоимость второго платья: $3000 \cdot (100\ 60\%) = 3000 \cdot 0,4 = 1200$ руб.
   Общая стоимость: $3000 + 1200 = 4200$ руб.
   Ответ: 4200.
3. Найдите значение выражения \[ \sqrt{(4\sqrt{3}-7)^2 + (2+\sqrt{3})^2} \] Решение: \[ \begin{gather*} (4\sqrt{3}-7)^2 = 48 - 56\sqrt{3} + 49 = 97 - 56\sqrt{3} \\ (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \\ Сумма: 97 - 56\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} = 104 - 52\sqrt{3} \\ \sqrt{104 - 52\sqrt{3}} = \sqrt{52 \cdot 2 - 52\sqrt{3}} = \sqrt{52(2 - \sqrt{3})} \\ Ответ требует численного упрощения: |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3} \, \end{gather*} \] Ответ: $2 + \sqrt{3}$.
4. Число \(2\) является корнем уравнения \(p x^2 + x - 18 = 0\). Найдите сумму корней этого уравнения.
   Решение: Подставим \(x = 2\): \[ p \cdot 4 + 2 - 18 = 0 \Rightarrow 4p = 16 \Rightarrow p = 4 \\ Сумма корней: \, -b/a = -1/4 \] Ответ: $-0,25$.
5. Найдите расстояние от точки пересечения графиков функций \(y=3x+11\) и \(y=-2x-14\) до прямой, заданной уравнением \(x=1\).
   Решение: Точка пересечения: \[ 3x + 11 = -2x -14 \Rightarrow 5x = -25 \Rightarrow x = -5 \\ y = 3(-5) + 11 = -4 \Rightarrow точка (-5, -4) \\ Расстояние до x=1: \, |1 - (-5)| = 6 \] Ответ: 6.
6. Полностью потратив некоторую сумму денег, можно купить или 4 ластика, или 12 тетрадей. Сколько наборов, состоящих из одного ластика и одной тетради, можно приобрести за те же деньги?
   Решение: Пусть стоимость ластика \(3k\), тетради \(k\). Общая сумма: \(4 \cdot 3k = 12k\)
   Стоимость набора: \(3k + k = 4k\)
   Количество наборов: \(12k / 4k = 3\)
   Ответ: 3.
7. Упростите выражение и вычислите его значение при \(x=\tfrac{5}{18}\): \[ \left(\frac{x}{5x+1}+1\right)\,\cdot\,\frac{1-25x^2}{36x^2-1}\,-\,\frac{5x}{1-6x} \] Решение: Упрощение: \[ \frac{6x+1}{5x+1} \cdot \frac{(1-5x)(1+5x)}{(6x-1)(6x+1)} - \frac{5x}{1-6x} = \frac{1-5x}{6x-1} + \frac{5x}{6x-1} = \frac{1}{6x-1} \\ При \: x = \frac{5}{18}: \, \frac{1}{6 \cdot \frac{5}{18} - 1} = \frac{1}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{3}{2} \] Ответ: 1,5.
8. В прямоугольной трапеции один из углов равен \(45^\circ\), меньшее основание равно 11, а большая боковая сторона равна \(6\sqrt{2}\). Найдите площадь трапеции.
   Решение: Высота трапеции \(h = 6\sqrt{2} \cdot \sin45^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\)
   Большее основание: \(11 + h = 11 + 6 = 17\)
   Площадь: \(\frac{11 + 17}{2} \cdot 6 = 84\)
   Ответ: 84.
9. Собственная скорость лодки и скорость течения — обратные величины и измеряются в \(\mathrm{км/ч}\). Лодка проплыла против течения 30 километров за 8 часов. Найдите скорость лодки по течению.
   Решение: Пусть скорость лодки \(v = 4\) км/ч, течение \(\frac{1}{v} = 0,25\) км/ч
   Скорость по течению: \(v + \frac{1}{v} = 4 + 0,25 = 4,25\)
   Ответ: 4,25.
10. Найдите сумму всех значений параметра \(a\), при которых уравнение \[ a^2x - 4ax - a^3 = -3x -9a - a^2 + 9 \] имеет не менее двух корней.
    Решение: Преобразуем уравнение: \[ x(a^2 - 4a +3 ) = -a^3 + a^2 +9a -9 \] Бесконечно решений при: \[ a^2 -4a +3 =0 \Rightarrow a=1;3 \\ \] Проверка свободного члена:
    -1 +1 +9 -9=0 (для a=1);
    -27 +9 +27 -9=0 (для a=3)
    Сумма параметров: 1 + 3 = 4
    Ответ: 4.