Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

1. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} + \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} \]
   
   
2. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{x + 3}{\sqrt{(x + 2)^2}} \]
   
   
3. Докажите, что при любом натуральном \( m \) число \( 5^{4m} + m \) делится на 5.
   
   
4. Медиана \( BM \) и биссектриса \( AP \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( K \). Длина стороны \( AC \) втрое больше длины стороны \( AB \). Найдите отношение площади треугольника \( BKP \) к площади треугольника \( AKM \).
   
   
5. Из двух городов \( A \) и \( B \) навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. После встречи один из них был в пути до города \( B \) ещё 16 часов, а второй — до города \( A \) 9 часов. Определите, сколько времени был в пути каждый автобус.
   
   
6. Найдите все значения параметра \( k \), при которых прямая \( y = kx + 2 \) имеет с графиком функции \[ y = x^3 - x + 1 \] ровно одну общую точку. Для каждой такой прямой укажите координаты этой точки.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} + \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 1} \] Решение:
   Упростим дроби: \[ \frac{(x+1)^2}{x+1} + \frac{(2x+1)(x+1)}{(x+1)^2} = x + 1 + \frac{2x+1}{x+1} \] Перенесем все в левую часть: \[ x + 1 + \frac{2x+1}{x+1} - \frac{x^2 + 2x + 3}{x+1} = 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(x+1)^2 + (2x+1) - (x^2 + 2x + 3)}{x+1} = 0 \] Упростим числитель: \[ x^2 + 2x + 1 + 2x + 1 - x^2 - 2x - 3 = 2x -1 \] Получаем уравнение: \[ \frac{2x -1}{x+1} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x -1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] Проверка: \( x = \frac{1}{2} \) не обращает знаменатель в ноль.
   Ответ: \( \frac{1}{2} \).
   
   
2. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{x + 3}{\sqrt{(x + 2)^2}} \] Решение:
   Условия определения:
   1. \( 17 - 15x - 2x^2 \geq 0 \)
   2. \( x + 3 > 0 \)
   3. \( (x + 2)^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2 \)
   Решим квадратное неравенство: \[ -2x^2 -15x +17 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 +15x -17 \leq 0 \] Корни уравнения \( 2x^2 +15x -17 = 0 \): \[ D = 225 + 136 = 361 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-15 \pm 19}{4} \] \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -8.5 \). Решение неравенства: \( x \in [-8.5; 1] \).
   Пересечение условий: \[ \begin{cases} x \in [-8.5; 1] \\ x > -3 \\ x \neq -2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \in (-3; 1] \setminus \{-2\} \] Ответ: \( (-3; -2) \cup (-2; 1] \).
   
   
3. Докажите, что при любом натуральном \( m \) число \( 5^{4m} + m \) делится на 5.
   Решение:
   Рассмотрим выражение по модулю 5: \[ 5^{4m} \equiv 0 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad 5^{4m} + m \equiv m \pmod{5} \] Для делимости на 5 необходимо \( m \equiv 0 \pmod{5} \). Однако условие требует доказательства для любого натурального \( m \), что неверно.
   Контрпример: \( m = 1 \), \( 5^4 + 1 = 626 \), \( 626 \div 5 = 125.2 \).
   Ответ: Утверждение неверно. При \( m \), не кратных 5, число \( 5^{4m} + m \) не делится на 5.
   
   
4. Медиана \( BM \) и биссектриса \( AP \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( K \). Длина стороны \( AC \) втрое больше длины стороны \( AB \). Найдите отношение площади треугольника \( BKP \) к площади треугольника \( AKM \).
   Решение:
   Пусть \( AB = a \), \( AC = 3a \). Точка \( M \) — середина \( AC \), \( AM = 1.5a \). Биссектриса \( AP \) делит \( BC \) в отношении \( AB:AC = 1:3 \). Используя теорему масс: \[ \frac{BK}{KM} = \frac{AB + BP}{PC} = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3} \] Площади треугольников \( BKP \) и \( AKM \) пропорциональны отношению \( \frac{BK}{KM} \cdot \frac{BP}{PC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \).
   Ответ: \( \frac{2}{9} \).
   
   
5. Из двух городов \( A \) и \( B \) навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. После встречи один из них был в пути до города \( B \) ещё 16 часов, а второй — до города \( A \) 9 часов. Определите, сколько времени был в пути каждый автобус.
   Решение:
   Пусть \( t \) — время до встречи. Скорости автобусов \( v_1 \) и \( v_2 \). Из условий: \[ \frac{v_1 t}{v_2} = 9 \quad \text{и} \quad \frac{v_2 t}{v_1} = 16 \] Перемножив уравнения: \[ t^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad t = 12 \text{ часов} \] Общее время:
   Первый автобус: \( 12 + 16 = 28 \) часов.
   Второй автобус: \( 12 + 9 = 21 \) час.
   Ответ: 28 часов и 21 час.
   
   
6. Найдите все значения параметра \( k \), при которых прямая \( y = kx + 2 \) имеет с графиком функции \[ y = x^3 - x + 1 \] ровно одну общую точку. Для каждой такой прямой укажите координаты этой точки.
   Решение:
   Уравнение \( x^3 - x + 1 = kx + 2 \) преобразуется к: \[ x^3 - (k+1)x -1 = 0 \] Для единственного корня необходимо, чтобы производная \( 3x^2 - (k+1) \) не имела действительных корней или имела их, но значения функции в экстремумах одного знака.
   Условие единственности корня: \[ 3x^2 - (k+1) = 0 \quad \Rightarrow \quad k+1 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad k \leq -1 \] При \( k > -1 \) проверяем значения в экстремумах: \[ x = \pm \sqrt{\frac{k+1}{3}} \] Подстановка в уравнение показывает, что при \( k = -1 \) уравнение имеет один корень \( x = 0 \).
   Ответ: \( k \leq -1 \). Единственная точка при \( k = -1 \): \( (0, 2) \).