Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2020 год (демовариант 1)

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

Демо

1. Решите уравнение: $7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)=9$
2. Найдите область определения функции: $f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x^{2}+6 x+9}}+\sqrt{\frac{25}{3-6 x}}$.
3. Найдите все четырёхзначные числа $x$ такие, что:
   1. число $x$ кратно 88 ;
   2. все цифры числа $x$ различны и чётны.
   Докажите, что других таких чисел нет.
4. В треугольнике $A B C$ биссектриса $B E$ и медиана $A D$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28 . Найдите стороны треугольника $A B C$.
5. Вася сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 15 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 35 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
6. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a \sqrt{x^{2}+6 x+9}=2-x$ имеет два решения

Решения задач

1. Решите уравнение: $7\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)=9$
   Решение: Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Подставим в уравнение:
   $7t - 2(t^2 - 2) = 9 \Rightarrow -2t^2 + 7t + 4 = 9 \Rightarrow -2t^2 + 7t - 5 = 0$
   Дискриминант: $D = 49 - 40 = 9 \Rightarrow t = \frac{7 \pm 3}{4} \Rightarrow t_1 = 2.5,\ t_2 = 1$
   При $t = 2.5$: $x + \frac{1}{x} = 2.5 \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2,\ 0.5$
   При $t = 1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$ (нет действительных корней)
   Ответ: $2;\ 0.5$.
2. Найдите область определения функции: $f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x^{2}+6 x+9}}+\sqrt{\frac{25}{3-6 x}}$
   Решение: Рассмотрим условия:
   1. $\sqrt{x+5}$: $x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$
   2. $\sqrt{x^2 + 6x + 9} = |x + 3| \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
   3. $\sqrt{\frac{25}{3-6x}}$: $3 - 6x > 0 \Rightarrow x < 0.5$
   Объединяя условия: $x \in [-5; 0.5)$ с исключением $x = -3$
   Ответ: $x \in [-5; -3) \cup (-3; 0.5)$.
3. Найдите все четырёхзначные числа $x$ такие, что:
   1. число $x$ кратно 88;
   2. все цифры числа $x$ различны и чётны.
   Решение:
   1. Кратность 88 $\Rightarrow$ делится на 8 и 11
   2. Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8 (все различны)
   3. Для делимости на 8: последние 3 цифры образуют число, кратное 8
   4. Для делимости на 11: $(a + c) - (b + d) \equiv 0 \pmod{11}$
   Перебор возможных комбинаций:
   2640: $640 \div 8 = 80$, $(2 + 4) - (6 + 0) = 0$, цифры различны
   6248: $248 \div 8 = 31$, $(6 + 4) - (2 + 8) = 0$
   8624: $624 \div 8 = 78$, $(8 + 2) - (6 + 4) = 0$
   Ответ: 2640; 6248; 8624.
4. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника $ABC$.
   Решение: Пусть $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. Используем свойства:
   1. Медиана $AD = 28$, биссектриса $BE = 28$
   2. $AD \perp BE$
   3. Формула медианы: $AD^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
   4. Формула биссектрисы: $BE^2 = ac\left(1 - \frac{b^2}{(a + c)^2}\right)$
   5. Условие перпендикулярности: $\vec{AD} \cdot \vec{BE} = 0$
   Решая систему уравнений, получаем:
   $AB = 7\sqrt{13}$, $BC = 14\sqrt{13}$, $AC = 21\sqrt{5}$
   Ответ: $7\sqrt{13};\ 14\sqrt{13};\ 21\sqrt{5}$.
5. Вася сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 15 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 35 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
   Решение: Пусть $N$ — число ступенек, $u$ — скорость эскалатора (ступ/сек), $v$ — скорость Васи (ступ/сек)
   1. Вниз: $\frac{N}{v + u} \cdot v = 15$
   2. Вверх: $\frac{N}{v - u} \cdot v = 35$
   3. Разделим уравнения: $\frac{v + u}{v - u} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \Rightarrow 3v + 3u = 7v - 7u \Rightarrow 10u = 4v \Rightarrow u = 0.4v$
   4. Подставим в первое уравнение: $\frac{N}{1.4v} \cdot v = 15 \Rightarrow N = 21$
   Ответ: 21.
6. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $a \sqrt{x^{2}+6 x+9}=2-x$ имеет два решения
   Решение: Уравнение преобразуется к виду $a|x + 3| = 2 - x$
   1. Случай $x \geq -3$: $a(x + 3) = 2 - x \Rightarrow x = \frac{2 - 3a}{a + 1}$ (должно быть $\geq -3$)
   2. Случай $x < -3$: $-a(x + 3) = 2 - x \Rightarrow x = \frac{3a + 2}{a - 1}$ (должно быть $< -3$)
   3. Условия существования двух решений:
      • $\frac{2 - 3a}{a + 1} \geq -3 \Rightarrow a > -1$
      • $\frac{3a + 2}{a - 1} 1$
   Ответ: $a > 1$.