Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2020 год (демовариант 1)

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

Демо

1. Решите уравнение: $(8,31-x) \cdot \frac{12}{43}=1,8$
   

   1$) 2,41$

   $2) 1,86$

   $3) 14,76$

   $4)-1,86$

2. Сколько сушеных груш получится из 50 кг свежих, если при сушке из свежих груш получается $15 \%$ сушеных?
   

   1$) 3 \frac{1}{3}$ кг

   $2) 0,3$ кг

   $3) 7,5$ кг

   $4)15$ кг

3. Найдите значение выражения: $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$
   

   1) 3

   2) 12

   3) $\sqrt{5}$

   4) $\frac{1}{3}$

4. Прямая $y=k x$ параллельна прямой, пересекающей координатные оси в точках $(8 ; 0)$ и $(0 ;-4)$. Найдите $k$.
   

   1$) 2$

   $2) 0,5$

   $3)-2$

   $4)-0,5$

5. У Ивана было 3 лепёшки, а у Петра - 5 точно таких же лепешек. Прохожий присоединился к их трапезе, заплатив 8 рублей. Все ели поровну. Деньги распределили между Иваном и Петром. Сколько рублей должен получить Пётр?
   

   1) 7

   2) 5

   3) 3

   4) 6

6. Упростите выражение и вычислите его значение при $a=-0,6$ : $ \frac{a^{3}+2 a^{2}}{a-2}:\left(\frac{2}{a+2}+\frac{a^{2}+4}{a^{2}-4}-\frac{2}{2-a}\right) $
   

   1) $2 \frac{7}{9}$

   2) $-0,12$

   3) 0,36

   4) 3,6

7. В трапеции $A B C D$ меньшее основание $B C=6$, а диагональ $A C$ образует с большим основанием угол $45^{\circ} .0$ - точка пересечения диагоналей $\mathrm{AO}=5 \sqrt{2}, \mathrm{OC}=2 \sqrt{2}$. Найдите площадь трапеции.
   

   1) 35

   2) 147

   3) 14

   4) 73,5

8. Автомобиль должен был проехать 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан на 10 мин у железнодорожного переезда. Увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость автомобиля.
   

   1$) 40$

   $2) 44$

   $3) 50$

   $4) 60$

9. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых сумма корней уравнения $x^{2}-\left(2 a^{2}-4\right) x+a-1=0$ равна их произведению.
   

   1$)-1 ; 1,5$

   $2) 1,5$

   $3)-1$

   $4) 1 ;-1,5$

10. В канцелярском киоске продаётся один вид ластиков, один вид ручек и один вид блокнотов. Известно, что за 2 ластика, 3 ручки и 1 блокнот заплатили 56 рублей, а за 7 ластиков, 1 ручку и 3 блокнота заплатили 95 рублей. Сколько рублей придётся заплатить за 3 ластика, 14 ручек и 2 блокнота?
    

    1) 202

    2) 175

    3) 195

    4) 185

Решения задач

1. Решите уравнение: $(8,31-x) \cdot \frac{12}{43}=1,8$
   Решение:
   $(8,31 - x) \cdot \frac{12}{43} = 1,8$
   $8,31 - x = 1,8 \cdot \frac{43}{12} = 1,8 \cdot 3,5833 \approx 6,45$
   $x = 8,31 - 6,45 = 1,86$
   Ответ: 2) 1,86.
2. Сколько сушеных груш получится из 50 кг свежих, если при сушке из свежих груш получается $15 \%$ сушеных?
   Решение:
   $15% \text{ от } 50 \text{ кг} = 0,15 \cdot 50 = 7,5 \text{ кг}$
   Ответ: 3) 7,5 кг.
3. Найдите значение выражения: $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$
   Решение:
   Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое:
   $\frac{(5+\sqrt{5})^2}{25 - 5} + \frac{(5-\sqrt{5})^2}{25 - 5} = \frac{30 + 10\sqrt{5} + 30 - 10\sqrt{5}}{20} = \frac{60}{20} = 3$
   Ответ: 1) 3.
4. Прямая $y=k x$ параллельна прямой, пересекающей координатные оси в точках $(8 ; 0)$ и $(0 ;-4)$. Найдите $k$.
   Решение:
   Угловой коэффициент прямой через точки $(8,0)$ и $(0,-4)$:
   $k = \frac{0 - (-4)}{8 - 0} = \frac{4}{8} = 0,5$
   Ответ: 2) 0,5.
5. У Ивана было 3 лепёшки, а у Петра - 5 точно таких же лепешек. Прохожий присоединился к их трапезе, заплатив 8 рублей. Все ели поровну. Деньги распределили между Иваном и Петром. Сколько рублей должен получить Пётр?
   Решение:
   Всего лепёшек: $3 + 5 = 8$. Каждый съел $\frac{8}{3}$ лепёшки.
   Иван отдал: $3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$ лепёшки.
   Пётр отдал: $5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$ лепёшки.
   Соотношение вкладов: $\frac{1}{3} : \frac{7}{3} = 1:7$.
   Пётр получит: $\frac{7}{8} \cdot 8 = 7$ рублей.
   Ответ: 1) 7.
6. Упростите выражение и вычислите его значение при $a=-0,6$ : $ \frac{a^{3}+2 a^{2}}{a-2}:\left(\frac{2}{a+2}+\frac{a^{2}+4}{a^{2}-4}-\frac{2}{2-a}\right) $
   Решение:
   Упростим выражение в скобках:
   $\frac{2(a-2) + (a^2 + 4) + 2(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 4a + 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2}$
   Исходное выражение:
   $\frac{a^2(a+2)}{a-2} \cdot \frac{a-2}{a+2} = a^2$
   При $a = -0,6$: $a^2 = (-0,6)^2 = 0,36$
   Ответ: 3) 0,36.
7. В трапеции $A B C D$ меньшее основание $B C=6$, а диагональ $A C$ образует с большим основанием угол $45^{\circ}$. $O$ - точка пересечения диагоналей, $\mathrm{AO}=5 \sqrt{2}$, $\mathrm{OC}=2 \sqrt{2}$. Найдите площадь трапеции.
   Решение:
   Отношение $AO:OC = 5:2$, значит основания относятся как $5:2$.
   Большее основание: $AD = 6 \cdot \frac{5}{2} = 15$.
   Высота трапеции: $h = AC \cdot \sin{45^\circ} = 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7$.
   Площадь: $S = \frac{6 + 15}{2} \cdot 7 = 73,5$.
   Ответ: 4) 73,5.
8. Автомобиль должен был проехать 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан на 10 мин у железнодорожного переезда. Увеличив первоначальную скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость автомобиля.
   Решение:
   Пусть $v$ — первоначальная скорость. Составим уравнение времени:
   $\frac{14}{v} + \frac{40}{v+10} + \frac{10}{60} = \frac{54}{v} + \frac{2}{60}$
   Решив уравнение, получим $v = 50$ км/ч.
   Ответ: 3) 50.
9. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых сумма корней уравнения $x^{2}-\left(2 a^{2}-4\right) x+a-1=0$ равна их произведению.
   Решение:
   По теореме Виета: $2a^2 - 4 = a - 1$.
   Решив уравнение $2a^2 - a - 3 = 0$, получим $a = 1,5$ и $a = -1$.
   Ответ: 1) $-1 ; 1,5$.
10. В канцелярском киоске продаётся один вид ластиков, один вид ручек и один вид блокнотов. Известно, что за 2 ластика, 3 ручки и 1 блокнот заплатили 56 рублей, а за 7 ластиков, 1 ручку и 3 блокнота заплатили 95 рублей. Сколько рублей придётся заплатить за 3 ластика, 14 ручек и 2 блокнота?
    Решение:
    Умножим первое уравнение на 3 и вычтем второе:
    $6л + 9р + 3б - 7л - р - 3б = 168 - 95 \Rightarrow -л + 8р = 73$.
    Выразим $л = 8р - 73$ и подставим в комбинацию $3л + 14р + 2б$:
    Получим $3(8р - 73) + 14р + 2(202 - 19р) = 185$.
    Ответ: 4) 185.