8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1-2

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Сложность:
Дата экзамена: 2019
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2019 год



  1. Вычислите: \[ \left( 2 \frac{4}{3{,}6} - 4 \frac{2}{9{,}7} \right) \] *(точная интерпретация дробей зависит от формата, на изображении возможны смешанные числа или дроби с десятичными основаниями)*

  2. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на $30\%$, а другое увеличить на $20\%$?

  3. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \right) \Big/ \left( \frac{3}{2} - \frac{5}{3} + \frac{2}{5} \right) \]

  4. Найдите расстояние от точки пересечения прямых \[ y = -\frac{3}{5}x + 3 \quad \text{и} \quad y = -\frac{2}{3}x \] до оси ординат.

  5. В корзине лежат 40 плодов: яблоки и груши. Известно, что среди любых 18 плодов имеется хотя бы одна груша, а среди любых 24 плодов имеется хотя бы одно яблоко. Сколько груш в корзине?

  6. Упростите выражение: \[ \left( \frac{8c^3 + 4c^2 - 5c - 6}{2(c - 2)(c + 2)} \right) \Big/ \left( \frac{c^2 + c - 6}{2(c + 2)} \right) \]

  7. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) заданы длины: основание \(AC = 6\), боковая сторона \(AB = 5\). Найдите высоту треугольника, проведённую к боковой стороне.

  8. В бассейн проведены две трубы. Время, за которое первая труба наполняет бассейн, на 3 часа меньше времени, за которое наполняет его вторая труба. Сначала 1 час 45 минут работала только первая труба, затем обе трубы работали ещё 2 часа и полностью наполнили бассейн. За какое время наполнится бассейн, если включить только вторую трубу?

  9. Найдите все значения параметра \( a \), такие что сумма корней уравнения \[ x^2 + 2(4 - a^2)x = 5x + 2a \] равна нулю. В ответ запишите сумму этих значений (или значение, если оно одно).

  10. На доске записаны два последовательных натуральных числа. Известно, что сумма цифр каждого из них кратна 10. Какое минимальное значение может принимать сумма записанных чисел?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left( 2 \cdot \frac{4}{3{,}6} - 4 \cdot \frac{2}{9{,}7} \right) \] Решение: \[ 2 \cdot \frac{4}{3{,}6} = 2 \cdot \frac{40}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} \] \[ 4 \cdot \frac{2}{9{,}7} = 4 \cdot \frac{20}{97} = \frac{80}{97} \] \[ \frac{20}{9} - \frac{80}{97} = \frac{20 \cdot 97 - 80 \cdot 9}{9 \cdot 97} = \frac{1940 - 720}{873} = \frac{1220}{873} \] Ответ: \(\frac{1220}{873}\).
  2. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на $30\%$, а другое увеличить на $20\%$?
    Решение: Пусть исходные числа \(a\) и \(b\). Новое произведение: \[ 1{,}3a \cdot 1{,}2b = 1{,}56ab \] Увеличение на \(1{,}56 - 1 = 0{,}56 = 56\%\).
    Ответ: $56\%$.
  3. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \right) \Big/ \left( \frac{3}{2} - \frac{5}{3} + \frac{2}{5} \right) \] Решение: \[ \text{Числитель: } \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{10 - 3}{30} = \frac{7}{30} \] \[ \text{Знаменатель: } \frac{45 - 50 + 12}{30} = \frac{7}{30} \] \[ \frac{7/30}{7/30} = 1 \] Ответ: 1.
  4. Найдите расстояние от точки пересечения прямых \[ y = -\frac{3}{5}x + 3 \quad \text{и} \quad y = -\frac{2}{3}x \] до оси ординат.
    Решение: Решим систему уравнений: \[ -\frac{3}{5}x + 3 = -\frac{2}{3}x \quad \Rightarrow \quad -\frac{9}{15}x + \frac{30}{10} = -\frac{10}{15}x \] \[ \frac{1}{15}x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -45 \] Расстояние до оси ординат: \(|x| = 45\).
    Ответ: 45.
  5. В корзине лежат 40 плодов: яблоки и груши. Известно, что среди любых 18 плодов имеется хотя бы одна груша, а среди любых 24 плодов имеется хотя бы одно яблоко. Сколько груш в корзине?
    Решение: Максимальное количество яблок: 17 (иначе 18 яблок нарушит первое условие). Максимальное количество груш: 23 (иначе 24 груши нарушит второе условие). Проверка: \(17 + 23 = 40\).
    Ответ: 23.
  6. Упростите выражение: \[ \frac{8c^3 + 4c^2 - 5c - 6}{2(c - 2)(c + 2)} \Big/ \frac{c^2 + c - 6}{2(c + 2)} \] Решение: \[ \frac{8c^3 + 4c^2 - 5c - 6}{(c - 2)(c + 2)} \cdot \frac{(c + 2)}{c^2 + c - 6} = \frac{8c^3 + 4c^2 - 5c - 6}{(c - 2)(c^2 + c - 6)} \] Ответ: \(\frac{8c^3 + 4c^2 - 5c - 6}{(c - 2)(c^2 + c - 6)}\).
  7. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) заданы длины: основание \(AC = 6\), боковая сторона \(AB = 5\). Найдите высоту треугольника, проведённую к боковой стороне.
    Решение: Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \] Высота к боковой стороне \(AB\): \[ h = \frac{2S}{AB} = \frac{24}{5} = 4{,}8 \] Ответ: \(4{,}8\).
  8. В бассейн проведены две трубы. Время, за которое первая труба наполняет бассейн, на 3 часа меньше времени, за которое наполняет его вторая труба. Сначала 1 час 45 минут работала только первая труба, затем обе трубы работали ещё 2 часа и полностью наполнили бассейн. За какое время наполнится бассейн, если включить только вторую трубу?
    Решение: Пусть время второй трубы \(x\) часов. Уравнение: \[ \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{x - 3} + 2\left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) = 1 \] Решение: \(x = 8\) часов.
    Ответ: 8 часов.
  9. Найдите все значения параметра \( a \), такие что сумма корней уравнения \[ x^2 + 2(4 - a^2)x = 5x + 2a \] равна нулю. В ответ запишите сумму этих значений (или значение, если оно одно).
    Решение: Сумма корней: \[ 2a^2 - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \] Сумма значений: \(0\).
    Ответ: 0.
  10. На доске записаны два последовательных натуральных числа. Известно, что сумма цифр каждого из них кратна 10. Какое минимальное значение может принимать сумма записанных чисел?
    Решение: Пример чисел \(599999\) и \(600000\). Сумма цифр: \(5 + 5 \cdot 9 = 50\) и \(6\). Сумма чисел: \(599999 + 600000 = 1199999\).
    Ответ: \(1199999\).
Материалы школы Юайти