Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2019 год

1. Решите уравнение: $\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}+x+1}-\frac{3 x}{x^{2}+2 x+1}=1$.
2. Найдите область определения функции: $\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\sqrt{17-15 x-2 x^{2}}}{x+3}}+\frac{x+3}{\sqrt{(x+2)^{2}}}$.
3. Докажите, что при любом натуральном $m$ число $m^{5}+4 m$ делится на $5 .$
4. Медиана $B M$ и биссектриса $A P$ треугольника $A B C$ пересекаются в точке $K$. Длина стороны $A C$ втрое больше длины стороны $A B$. Найдите отношение площади треугольника $B K P$ в площади треугольника $A K M .$
5. Из двух городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. После встречи один из них был в пути до города В еще 16 часов, а второй до города А - 9 часов. Определите, сколько времени был в пути каждый автобус.
6. Найдите все значения параметра $k$, при которых прямая $y=k x+2$ имеет с графиком функции $y=|x-1|+|x-3|$ ровно одну общую точку. Для каждой такой прямой укажите координаты этой точки.

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}+x+1}-\frac{3 x}{x^{2}+2 x+1}=1$.
   Решение: Заметим, что $x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^2$ и $x^{2} + x + 1$ не имеет действительных корней. Умножим обе части уравнения на $(x^2 + x + 1)(x + 1)^2$:
   $(x + 1)^4 - 3x(x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)(x + 1)^2$
   Раскроем скобки и упростим:
   $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 - 3x^3 - 3x^2 - 3x = x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$
   $-2x^3 - x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(2x^2 + x + 2) = 0$
   Решения: $x = 0$ (корень) и $2x^2 + x + 2 = 0$ (дискриминант отрицателен). Проверка $x = 0$ подтверждает решение.
   Ответ: 0.
   
   
2. Найдите область определения функции: $\mathrm{y}=\sqrt{\frac{\sqrt{17-15 x-2 x^{2}}}{x+3}}+\frac{x+3}{\sqrt{(x+2)^{2}}}$.
   Решение: Рассмотрим условия:
   1. $17 - 15x - 2x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-8.5; 1]$
   2. Знаменатель $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
   3. $\frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{x + 3} \geq 0 \Rightarrow x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
   4. $\sqrt{(x + 2)^2} = |x + 2| \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
   Объединяя условия: $x \in (-3; 1] \setminus \{-2\}$.
   Ответ: $(-3; -2) \cup (-2; 1]$.
   
   
3. Докажите, что при любом натуральном $m$ число $m^{5}+4 m$ делится на $5 .$
   Решение: По малой теореме Ферма: $m^5 \equiv m \pmod{5}$. Тогда:
   $m^5 + 4m \equiv m + 4m \equiv 5m \equiv 0 \pmod{5}$.
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Медиана $B M$ и биссектриса $A P$ треугольника $A B C$ пересекаются в точке $K$. Длина стороны $A C$ втрое больше длины стороны $A B$. Найдите отношение площади треугольника $B K P$ к площади треугольника $A K M .$
   Решение: Пусть $AB = x$, $AC = 3x$. Используя координаты и свойства биссектрисы, находим координаты $K$. Площади треугольников вычисляются через определители:
   $S_{BKP} = 0.075$, $S_{AKM} = 0.45 \Rightarrow \frac{S_{BKP}}{S_{AKM}} = \frac{1}{6}$.
   Ответ: $\frac{1}{6}$.
   
   
5. Из двух городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. После встречи один из них был в пути до города В еще 16 часов, а второй до города А — 9 часов. Определите, сколько времени был в пути каждый автобус.
   Решение: Пусть время до встречи $t$. Из уравнений:
   $\frac{v_2}{v_1} = \frac{16}{t}$, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{t}$, $t = 12$ часов.
   Общее время: $12 + 16 = 28$ часов и $12 + 9 = 21$ час.
   Ответ: 21 час и 28 часов.
   
   
6. Найдите все значения параметра $k$, при которых прямая $y=k x+2$ имеет с графиком функции $y=|x-1|+|x-3|$ ровно одну общую точку. Для каждой такой прямой укажите координаты этой точки.
   Решение: График функции состоит из трёх частей. Анализ пересечений показывает:
   1. При $k > 2$ прямая пересекает только левый луч $4 - 2x$ в точке $x = \frac{2}{k + 2}$.
   2. При $k = 2$ единственная точка пересечения $x = 0.5$.
   3. При $k = 0.5$ прямая касается правого луча $2x - 4$ в точке $x = 4$.
   Ответ: $k = 2$ (точка $(0.5, 2.5)$), $k = 0.5$ (точка $(4, 4)$), $k = 3$ (точка $(0.4, 3.2)$).