8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Сложность:
Дата экзамена: 2019
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2019 год



  1. Вычислите: $\left(3,6-4 \frac{2}{9}\right) \cdot 2 \frac{4}{7}$
  2. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на $30 \%$, а другое увеличить на $20 \%$ ?
  3. Найдите значение выражения: $\left(\frac{1}{3-2 \sqrt{5}}-\frac{1}{3+2 \sqrt{5}}\right) \cdot \sqrt{605}$
  4. Найдите расстояние от точки пересечения прямых $y=\frac{3 x+3}{5}$ и $y=\frac{3}{2} x-3$ до оси ординат.
  5. В корзине лежат 40 плодов: яблоки и груши. Известно, что среди любых 18 плодов имеется хотя бы одна груша, а среди любых 24 плодов имеется хотя бы одно яблоко. Сколько груш в корзине?
  6. Упростите выражение: $\left(c-\frac{c^{3}+8}{2 c+c^{2}}\right) \cdot \frac{4 c^{2}}{(c-2)^{2}}-\frac{5 c+6}{c-2}$
  7. В равнобедренном треугольнике $A B C$ заданы длины основания $A C=6$ и боковой стороны $A B=5 .$ Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне.
  8. В бассейн проведены две трубы. Время, за которое наполняет бассейн только первая труба, на 3 часа меньше времени, за которое наполняет бассейн вторая труба, работая отдельно. Сначала, в течение 1 часа 45 минут только первая труба наполняла пустой бассейн, а затем открыли вторую трубу. Обе трубы работали еще два часа и наполнили бассейн. За какое время (в часах) наполнится бассейн, если включить только вторую трубу?
  9. Найдите все значения параметра $a$ такие, что сумма корней уравнения $x^{2}+\left(a^{2}+4 a\right) x=5 x+2 a$ равна нулю. В ответ запишите сумму этих значений или значение параметра, если оно единственное.
  10. На доске записаны два последовательных натуральных числа. Известно, что сумма цифр каждого из них кратна 10. Какое минимальное значение может принимать сумма записанных чисел?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $\left(3,6-4 \frac{2}{9}\right) \cdot 2 \frac{4}{7}$
    Решение: Переведем смешанные числа в десятичные дроби:
    $4\frac{2}{9} = 4 + \frac{2}{9} \approx 4,2222$; $2\frac{4}{7} = 2 + \frac{4}{7} \approx 2,5714$.
    Выполним вычисления:
    $3,6 - 4,2222 = -0,6222$;
    $-0,6222 \cdot 2,5714 \approx -1,6$.
    Точный расчет:
    $3,6 = \frac{36}{10}$; $4\frac{2}{9} = \frac{38}{9}$;
    $\frac{36}{10} - \frac{38}{9} = \frac{324 - 380}{90} = -\frac{56}{90} = -\frac{28}{45}$;
    $2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$;
    $-\frac{28}{45} \cdot \frac{18}{7} = -\frac{504}{315} = -1,6$.
    Ответ: $-1,6$.

  2. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на $30 \%$, а другое увеличить на $20 \%$ ?
    Решение: Пусть исходные числа $a$ и $b$. Новые значения: $1,3a$ и $1,2b$.
    Произведение: $1,3 \cdot 1,2 \cdot ab = 1,56ab$.
    Увеличение на $1,56 - 1 = 0,56$ или $56\%$.
    Ответ: $56\%$.

  3. Найдите значение выражения: $\left(\frac{1}{3-2 \sqrt{5}}-\frac{1}{3+2 \sqrt{5}}\right) \cdot \sqrt{605}$
    Решение: Упростим выражение в скобках:
    $\frac{1}{3-2\sqrt{5}} - \frac{1}{3+2\sqrt{5}} = \frac{(3+2\sqrt{5}) - (3-2\sqrt{5})}{(3)^2 - (2\sqrt{5})^2} = \frac{4\sqrt{5}}{9 - 20} = \frac{4\sqrt{5}}{-11}$.
    Умножим на $\sqrt{605} = \sqrt{121 \cdot 5} = 11\sqrt{5}$:
    $\frac{4\sqrt{5}}{-11} \cdot 11\sqrt{5} = -4 \cdot 5 = -20$.
    Ответ: $-20$.

  4. Найдите расстояние от точки пересечения прямых $y=\frac{3 x+3}{5}$ и $y=\frac{3}{2} x-3$ до оси ординат.
    Решение: Найдем абсциссу точки пересечения:
    $\frac{3x + 3}{5} = \frac{3}{2}x - 3$;
    Умножим обе части на 10:
    $6x + 6 = 15x - 30$;
    $-9x = -36$;
    $x = 4$.
    Расстояние до оси ординат равно $|x| = 4$.
    Ответ: $4$.

  5. В корзине лежат 40 плодов: яблоки и груши. Известно, что среди любых 18 плодов имеется хотя бы одна груша, а среди любых 24 плодов имеется хотя бы одно яблоко. Сколько груш в корзине?
    Решение:
    Из первого условия: груш $\geq 40 - 17 = 23$.
    Из второго условия: яблок $\geq 40 - 23 + 1 = 18$, значит груш $\leq 40 - 18 = 22$.
    Противоречие. Исправляем: груш $\geq 23$, яблок $\leq 17$. Проверка:
    Любые 18 плодов содержат $\geq 1$ грушу (т.к. груш 23).
    Любые 24 плода содержат $\geq 1$ яблоко (т.к. яблок 17).
    Ответ: $23$.

  6. Упростите выражение: $\left(c-\frac{c^{3}+8}{2 c+c^{2}}\right) \cdot \frac{4 c^{2}}{(c-2)^{2}}-\frac{5 c+6}{c-2}$
    Решение: Упростим первую часть:
    $\frac{c^{3} + 8}{2c + c^{2}} = \frac{(c + 2)(c^{2} - 2c + 4)}{c(c + 2)} = \frac{c^{2} - 2c + 4}{c}$;
    $c - \frac{c^{2} - 2c + 4}{c} = \frac{c^{2} - (c^{2} - 2c + 4)}{c} = \frac{2c - 4}{c}$;
    Умножим на $\frac{4c^{2}}{(c - 2)^{2}}$:
    $\frac{2(c - 2)}{c} \cdot \frac{4c^{2}}{(c - 2)^{2}} = \frac{8c}{c - 2}$;
    Вычтем $\frac{5c + 6}{c - 2}$:
    $\frac{8c - 5c - 6}{c - 2} = \frac{3(c - 2)}{c - 2} = 3$ (при $c \neq 2$).
    Ответ: $3$.

  7. В равнобедренном треугольнике $A B C$ заданы длины основания $A C=6$ и боковой стороны $A B=5 .$ Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой стороне.
    Решение: Найдем высоту к основанию $AC$:
    $h_1 = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$;
    Площадь треугольника: $S = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$;
    Высота к боковой стороне $AB$:
    $h = \frac{2S}{AB} = \frac{24}{5} = 4,8$.
    Ответ: $4,8$.

  8. В бассейн проведены две трубы. Время, за которое наполняет бассейн только первая труба, на 3 часа меньше времени, за которое наполняет бассейн вторая труба, работая отдельно. Сначала, в течение 1 часа 45 минут только первая труба наполняла пустой бассейн, а затем открыли вторую трубу. Обе трубы работали еще два часа и наполнили бассейн. За какое время (в часах) наполнится бассейн, если включить только вторую трубу?
    Решение: Пусть вторая труба наполняет за $x$ часов, первая — за $x - 3$.
    Уравнение:
    $\frac{1,75}{x - 3} + 2\left(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x}\right) = 1$;
    $\frac{3,75}{x - 3} + \frac{2}{x} = 1$;
    Решая квадратное уравнение, получаем $x = 8$ часов.
    Ответ: $8$.

  9. Найдите все значения параметра $a$ такие, что сумма корней уравнения $x^{2}+\left(a^{2}+4 a\right) x=5 x+2 a$ равна нулю. В ответ запишите сумму этих значений или значение параметра, если оно единственное.
    Решение: Приведем уравнение к виду:
    $x^{2} + (a^{2} + 4a - 5)x - 2a = 0$;
    Сумма корней: $-(a^{2} + 4a - 5) = 0$;
    $a^{2} + 4a - 5 = 0$;
    Корни: $a = 1$ и $a = -5$;
    Проверка дискриминанта: при $a = -5$ уравнение не имеет корней.
    Ответ: $1$.

  10. На доске записаны два последовательных натуральных числа. Известно, что сумма цифр каждого из них кратна 10. Какое минимальное значение может принимать сумма записанных чисел?
    Решение: Пример чисел: $27999999999$ и $28000000000$.
    Сумма цифр первого: $2 + 7 + 9 \cdot 9 = 90$;
    Сумма цифр второго: $2 + 8 = 10$;
    Сумма чисел: $27999999999 + 28000000000 = 55999999999$.
    Ответ: $27999999999$.
Материалы школы Юайти