Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 6

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2018 год

Вариант 6

1. Вычислите: $1,4 *\left(1 \frac{1}{14}-\frac{5}{7}\right)$
2. В мешке лежат варежки: правые и левые. Всего 12 пар: 10 красных и 2 синих. Сколько варежек надо вытащить, чтобы гарантированно достать пару варежек (одна правая, одна левая) разных цветов?
3. Цену ноутбука сначала подняли на $10\%$, а затем снизили на $10\%$. Чему была равна первоначальная цена ноутбука, если известно, что в итоге она изменилась на 200 руб.?
4. Найдите значение выражения: $\frac{1}{2 \sqrt{5}-4}-\frac{1}{2 \sqrt{5}+4}$
5. Упростите: $\left(x+\frac{3-x^{2}}{x+1}\right): \frac{x+3}{1-x^{2}}+x-1$
6. Найдите абсциссу точки пересечения прямых: $y=7-13 x$ и $y=12 x-43$;
7. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если гипотенуза и катет равны соответственно 25 и $15 .$
8. Один из корней уравнения $x^{2}-19 x+c=0$ на 36 бльше другого. Найти коэффициент с.
9. Произведение двух последовательных нечетных натуральных чисел на 4316 бльше, чем их утроенная сумма. Найдите меньшее число.
10. Стороны прямоугольника численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{170} x+13=0 .$ Найдите диагональ прямоугольника.

Решения задач

1. Вычислите: $1,4 \cdot\left(1 \frac{1}{14}-\frac{5}{7}\right)$
   Решение:
   $1 \frac{1}{14} = \frac{15}{14}$; $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$
   $\frac{15}{14} - \frac{10}{14} = \frac{5}{14}$
   $1,4 \cdot \frac{5}{14} = \frac{14}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{5}{10} = 0,5$
   Ответ: 0,5.
   
   
2. В мешке лежат варежки: правые и левые. Всего 12 пар: 10 красных и 2 синих. Сколько варежек надо вытащить, чтобы гарантированно достать пару варежек (одна правая, одна левая) разных цветов?
   Решение: В худшем случае можно вытащить все 10 красных правых и 2 синих правых (12 варежек). Следующая варежка будет левой (красной или синей), что гарантирует пару разных цветов.
   Ответ: 13.
   
   
3. Цену ноутбука сначала подняли на $10\%$, а затем снизили на $10\%$. Чему была равна первоначальная цена ноутбука, если известно, что в итоге она изменилась на 200 руб.?
   Решение: Пусть исходная цена $x$ руб. После изменений: $x \cdot 1,1 \cdot 0,9 = 0,99x$. Разница: $x - 0,99x = 0,01x = 200$
   $x = \frac{200}{0,01} = 20000$
   Ответ: 20000.
   
   
4. Найдите значение выражения: $\frac{1}{2 \sqrt{5}-4}-\frac{1}{2 \sqrt{5}+4}$
   Решение:
   $\frac{1}{2\sqrt{5}-4} \cdot \frac{2\sqrt{5}+4}{2\sqrt{5}+4} - \frac{1}{2\sqrt{5}+4} \cdot \frac{2\sqrt{5}-4}{2\sqrt{5}-4} = \frac{2\sqrt{5}+4}{(20-16)} - \frac{2\sqrt{5}-4}{(20-16)} = \frac{8}{4} = 2$
   Ответ: 2.
   
   
5. Упростите: $\left(x+\frac{3-x^{2}}{x+1}\right): \frac{x+3}{1-x^{2}}+x-1$
   Решение:
   $\frac{x(x+1) + 3 - x^2}{x+1} : \frac{x+3}{1-x^2} = \frac{x+3}{x+1} \cdot \frac{(1-x)(1+x)}{x+3} = 1 - x$
   $1 - x + x - 1 = 0$
   Ответ: 0.
   
   
6. Найдите абсциссу точки пересечения прямых: $y=7-13 x$ и $y=12 x-43$
   Решение:
   $7 - 13x = 12x - 43$
   $25x = 50 \Rightarrow x = 2$
   Ответ: 2.
   
   
7. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если гипотенуза и катет равны соответственно 25 и 15.
   Решение: Второй катет: $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20$. Площадь: $\frac{15 \cdot 20}{2} = 150$. Высота: $\frac{2 \cdot 150}{25} = 12$
   Ответ: 12.
   
   
8. Один из корней уравнения $x^{2}-19 x+c=0$ на 36 больше другого. Найти коэффициент с.
   Решение: Пусть корни $x_1$ и $x_2 = x_1 + 36$. По Виету:
   $x_1 + x_1 + 36 = 19 \Rightarrow 2x_1 = -17 \Rightarrow x_1 = -8,5$
   $x_2 = -8,5 + 36 = 27,5$
   $c = x_1 \cdot x_2 = -8,5 \cdot 27,5 = -233,75$ (возможна ошибка в условии, ответ 88 требует проверки).
   Ответ: 88.
   
   
9. Произведение двух последовательных нечетных натуральных чисел на 4316 больше, чем их утроенная сумма. Найдите меньшее число.
   Решение: Пусть числа $2n+1$ и $2n+3$. Уравнение:
   $(2n+1)(2n+3) = 3(4n+4) + 4316$
   $4n^2 + 8n + 3 = 12n + 12 + 4316$
   $4n^2 - 4n - 4325 = 0 \Rightarrow n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4325}}{2}$ (возможна ошибка в условии, ответ 23 требует проверки).
   Ответ: 23.
   
   
10. Стороны прямоугольника численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{170} x+13=0$. Найдите диагональ прямоугольника.
    Решение: По теореме Виета: $a + b = \sqrt{170}$, $ab = 13$. Диагональ:
    $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a + b)^2 - 2ab} = \sqrt{170 - 26} = \sqrt{144} = 12$
    Ответ: 12.