Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 4

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2018 год

Вариант 4

1. Вычислите: $\left(0,625+\frac{11}{36}\right): 7 \frac{4}{9}$
2. В коробке лежат носки: 5 пар синих, 3 пары красных и 4 парь зеленых. Сколько носков не глядя нужно вытащить, чтобы гарантировано вытащить пару носков одного цвета?
3. Ежегодно количество поступающих в лице повышается на 10\%. Какое количество абитуриентов 6 удет через два года, если в этом году поступает 200 человек.
4. Найдите значение выражения: $\frac{12}{12-5 \sqrt{6}}+\frac{12}{12+5 \sqrt{6}}$
5. Упростите: $2-a+\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right): \frac{a^{2}}{a^{2}-2 a+1}$
6. Найдите абсциссу точки пересечения прямых: $y=\frac{5}{7} x-1$ и $y=-\frac{1}{7} x+2$
7. В прямоугольном треугольнике $\angle \mathrm{C}=90^{\circ} \mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=5 \mathrm{~cm} .$ Найдите разность углов, на которье высота СН делит угол С.
8. Один из корней уравнения $3 x^{2}+b x+7=0$ равен $7 .$ Найдите b.
9. Удвоенное произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на $577 .$ Найдите большее из чисел.
10. Стороны прямоугольника численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{13} x+2=0 .$ Найдите его диагональ.

Решения задач

1. Вычислите: $\left(0,625+\frac{11}{36}\right): 7 \frac{4}{9}$
   Решение:
   $0,625 = \frac{5}{8}$
   $\frac{5}{8} + \frac{11}{36} = \frac{45}{72} + \frac{22}{72} = \frac{67}{72}$
   $7 \frac{4}{9} = \frac{67}{9}$
   $\frac{67}{72} : \frac{67}{9} = \frac{67}{72} \cdot \frac{9}{67} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}$
   Ответ: $\frac{1}{8}$.
   
   
2. В коробке лежат носки: 5 пар синих, 3 пары красных и 4 пары зеленых. Сколько носков не глядя нужно вытащить, чтобы гарантированно вытащить пару носков одного цвета?
   Решение: В худшем случае можно вытащить по одному носку каждого цвета (3 носка). Следующий носок любого цвета даст пару.
   Ответ: 4.
   
   
3. Ежегодно количество поступающих в лицей повышается на 10\%. Какое количество абитуриентов будет через два года, если в этом году поступает 200 человек.
   Решение:
   Через 1 год: $200 \cdot 1,1 = 220$ человек
   Через 2 года: $220 \cdot 1,1 = 242$ человека
   Ответ: 242.
   
   
4. Найдите значение выражения: $\frac{12}{12-5 \sqrt{6}}+\frac{12}{12+5 \sqrt{6}}$
   Решение:
   Общий знаменатель: $(12-5\sqrt{6})(12+5\sqrt{6}) = 144 - 150 = -6$
   $\frac{12(12+5\sqrt{6}) + 12(12-5\sqrt{6})}{-6} = \frac{288}{-6} = -48$
   Ответ: $-48$.
   
   
5. Упростите: $2-a+\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right): \frac{a^{2}}{a^{2}-2 a+1}$
   Решение:
   $a^{2}-2a+1 = (a-1)^2$
   $\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right) \cdot \frac{(a-1)^2}{a^2} = \frac{a^2}{a-1} \cdot \frac{(a-1)^2}{a^2} = a-1$
   $2 - a + (a-1) = 1$
   Ответ: 1.
   
   
6. Найдите абсциссу точки пересечения прямых: $y=\frac{5}{7} x-1$ и $y=-\frac{1}{7} x+2$
   Решение:
   $\frac{5}{7}x - 1 = -\frac{1}{7}x + 2$
   $\frac{6}{7}x = 3$
   $x = 3 \cdot \frac{7}{6} = 3,5$
   Ответ: 3,5.
   
   
7. В прямоугольном треугольнике $\angle C=90^{\circ}$, $AB=10$ см, $BC=5$ см. Найдите разность углов, на которые высота $CH$ делит угол $C$.
   Решение:
   $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 25} = 5\sqrt{3}$ см
   $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{5\sqrt{3} \cdot 5}{10} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см
   $\tan \angle ACH = \frac{AH}{CH} = \sqrt{3} \Rightarrow \angle ACH = 60^{\circ}$
   $\tan \angle BCH = \frac{BH}{CH} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \angle BCH = 30^{\circ}$
   Разность: $60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$
   Ответ: 30.
   
   
8. Один из корней уравнения $3 x^{2}+b x+7=0$ равен $7$. Найдите $b$.
   Решение:
   Подставим $x=7$: $3 \cdot 49 + 7b + 7 = 0$
   $147 + 7b + 7 = 0 \Rightarrow 7b = -154 \Rightarrow b = -22$
   Ответ: $-22$.
   
   
9. Удвоенное произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на $577$. Найдите большее из чисел.
   Решение:
   Пусть числа $n$ и $n+1$:
   $2n(n+1) - (2n+1) = 577$
   $2n^2 - 1 = 577 \Rightarrow n^2 = 289 \Rightarrow n = 17$
   Большее число: $18$
   Ответ: 18.
   
   
10. Стороны прямоугольника численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{13} x+2=0$. Найдите его диагональ.
    Решение:
    Сумма корней: $x_1 + x_2 = \sqrt{13}$
    Произведение: $x_1 x_2 = 2$
    Диагональ: $\sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2} = \sqrt{13 - 4} = 3$
    Ответ: 3.