Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 3

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2018 год

Вариант 3

1. Вычислите: $\left(\frac{11}{15}+0,15\right): 1 \frac{8}{45}$
2. В мешке лежат варежки: правые и левые. Bcero 12 пар: 10 красных и 2 синих. Сколько варежек надо вытащить, чтобы гарантированно достать пару варежек, обе одного цвета?
3. Цена на свежие фрукты зимой увеличилась сначала на 20\%, а потом на $30 \%$ и составила 312 рублей за 1 кг. За сколько покупали фрукты в начале зимы?
4. Найдите значение выражения: $\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{8}}-1}-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{8}}+1}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
5. Упростите: $\left(a^{2}+2 a+1\right) *\left(\frac{4}{a+1}+\frac{2}{a^{2}-1}+\frac{1}{1-a}\right):(a+1)$
6. Найдите ординату точки пересечения прямых: $y=\frac{1}{3} x+4$ и $y=x-6$
7. В прямоугольном треугольнике $A B C \angle B=90^{\circ} \angle C=30^{\circ}, B C=18 \mathrm{~cm}$. Найдите разность длин отрезков, на которые биссектриса AD делит катет BC.
8. Один из корней уравнения $x^{2}-7 x-c=0$ на 5 меньше другого. Найдите коэффициент с.
9. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше квадрата меньшего числа на 481. Найдите меньшее число.
10. Диагонали ромба численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{30} x+6=0 .$ Найдите площадь ромба.

Решения задач

1. Вычислите: $\left(\frac{11}{15}+0,15\right): 1 \frac{8}{45}$
   Решение: \[ \frac{11}{15} + 0,15 = \frac{11}{15} + \frac{3}{20} = \frac{44}{60} + \frac{9}{60} = \frac{53}{60} \] \[ 1 \frac{8}{45} = \frac{53}{45} \] \[ \frac{53}{60} : \frac{53}{45} = \frac{53}{60} \cdot \frac{45}{53} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Ответ: 0,75.
2. В мешке лежат варежки: правые и левые. Всего 12 пар: 10 красных и 2 синих. Сколько варежек надо вытащить, чтобы гарантированно достать пару варежек, обе одного цвета?
   Решение: Наихудший случай — вытащить все правые и левые одного цвета до образования пары. Максимальное количество без пары: 10 красных правых + 2 синих правых + 10 красных левых + 2 синих левых = 24. Следующая варешка гарантирует пару.
   Ответ: 25.
3. Цена на свежие фрукты зимой увеличилась сначала на 20\%, а потом на 30% и составила 312 рублей за 1 кг. За сколько покупали фрукты в начале зимы?
   Решение: Пусть начальная цена \(x\): \[ x \cdot 1,2 \cdot 1,3 = 312 \implies x = \frac{312}{1,56} = 200 \] Ответ: 200 руб. (В ответах указано 174,72, возможно, ошибка в условии)
4. Найдите значение выражения: $\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{8}}-1}-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{8}}+1}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
   Решение: \[ \sqrt{3+\sqrt{8}} = \sqrt{2} + 1 \] \[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}+2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2-\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \] Ответ: \(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\) (возможна ошибка в знаках)
5. Упростите: $\left(a^{2}+2 a+1\right) \cdot \left(\frac{4}{a+1}+\frac{2}{a^{2}-1}+\frac{1}{1-a}\right):(a+1)$
   Решение: \[ a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 \] \[ \frac{4}{a+1} + \frac{2}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a-1} = \frac{3}{a+1} \] \[ (a+1)^2 \cdot \frac{3}{a+1} \cdot \frac{1}{a+1} = 3 \] Ответ: 3.
6. Найдите ординату точки пересечения прямых: $y=\frac{1}{3} x+4$ и $y=x-6$
   Решение: \[ \frac{1}{3}x + 4 = x - 6 \implies x = 15 \implies y = 9 \] Ответ: 9.
7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $BC=18$ см. Найдите разность длин отрезков, на которые биссектриса $AD$ делит катет $BC$.
   Решение: По свойству биссектрисы: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} \implies BD = 6, \ DC = 12 \implies |BD - DC| = 6 \] Ответ: 6.
8. Один из корней уравнения $x^{2}-7x-c=0$ на 5 меньше другого. Найдите коэффициент $c$.
   Решение: Корни \(x_1 = x_2 - 5\): \[ x_1 + x_2 = 7 \implies x_2 = 6, \ x_1 = 1 \implies x_1x_2 = 6 \implies c = -6 \] Ответ: -6 (В ответах указано 6, возможно, ошибка)
9. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше квадрата меньшего числа на 481. Найдите меньшее число.
   Решение: \[ (2n+1)^2 - n^2 = 481 \implies 3n^2 + 4n - 480 = 0 \implies n = 12 \] Ответ: 12.
10. Диагонали ромба численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{30}x+6=0$. Найдите площадь ромба.
    Решение: \[ d_1 \cdot d_2 = 6 \implies S = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \] Ответ: 3.