Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2018 год

1. Вычислите: $\left(2,7-3 \frac{2}{7}\right): 2 \frac{13}{14}$
2. В коробке лежат 12 белых шаров и 8 черных. Какое минимальное количество шаров, не глядя, надо вытащить из коробки, чтобы среди них точно были 2 белых и 1 черный?
3. Телевизор стоил 10000 рублей. Сначала его цену подняли на $10 \%$, а потом снизили на $10 \%$. Сколько стал стоить телевизор после снижения цены?
4. Найдите значение выражения: $\frac{1}{3 \sqrt{2}-4}-\frac{1}{3 \sqrt{2}+4}$
5. Упростить выражение: $\left(\frac{x+3}{x^{2}-3 x}+\frac{x-3}{x^{2}+3 x}\right) \cdot \frac{9 x-x^{3}}{x^{2}+9}$
6. Найдите ординату точки пересечения прямых: $y=3 x-5, y=-8 x+17$.
7. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.
8. Дан прямоугольный треугольник с катетами $6 \mathrm{~cm}$ и $8 \mathrm{~cm}$. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.
9. Один из корней уравнения $5 x^{2}+b x+24=0$ равен 8 . Найдите коэффициент $b$
10. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на $109 .$ Найдите большее из этих чисел.
11. Диагонали ромба численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{40} x+2=0$. Найдите сторону ромба.

Решения задач

1. Вычислите: $\left(2,7-3 \frac{2}{7}\right): 2 \frac{13}{14}$
   Решение: Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   $3\frac{2}{7} = \frac{23}{7}$, $2\frac{13}{14} = \frac{41}{14}$
   Вычислим разность в скобках:
   $2,7 - \frac{23}{7} = \frac{27}{10} - \frac{23}{7} = \frac{189}{70} - \frac{230}{70} = -\frac{41}{70}$
   Выполним деление:
   $-\frac{41}{70} : \frac{41}{14} = -\frac{41}{70} \cdot \frac{14}{41} = -\frac{14}{70} = -0,2$
   Ответ: $-0,2$.
2. В коробке лежат 12 белых шаров и 8 черных. Какое минимальное количество шаров, не глядя, надо вытащить из коробки, чтобы среди них точно были 2 белых и 1 черный?
   Решение: В худшем случае сначала вытащим все 8 черных шаров, затем 2 белых. Всего потребуется $8 + 2 = 10$ шаров.
   Ответ: 10.
3. Телевизор стоил 10000 рублей. Сначала его цену подняли на $10 \%$, а потом снизили на $10 \%$. Сколько стал стоить телевизор после снижения цены?
   Решение: После повышения цена составила:
   $10000 \cdot 1,1 = 11000$ руб.
   После снижения:
   $11000 \cdot 0,9 = 9900$ руб.
   Ответ: 9900 рублей.
4. Найдите значение выражения: $\frac{1}{3 \sqrt{2}-4}-\frac{1}{3 \sqrt{2}+4}$
   Решение: Приведём к общему знаменателю:
   $\frac{(3\sqrt{2}+4) - (3\sqrt{2}-4)}{(3\sqrt{2})^2 - 4^2} = \frac{8}{18 - 16} = \frac{8}{2} = 4$
   Ответ: 4.
5. Упростить выражение: $\left(\frac{x+3}{x^{2}-3 x}+\frac{x-3}{x^{2}+3 x}\right) \cdot \frac{9 x-x^{3}}{x^{2}+9}$
   Решение: Разложим знаменатели:
   $x^2 - 3x = x(x-3)$, $x^2 + 3x = x(x+3)$
   Сложим дроби:
   $\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2 + 18}{x(x^2-9)}$
   Умножим на вторую дробь:
   $\frac{2(x^2 + 9)}{x(x^2-9)} \cdot \frac{-x(x^2-9)}{x^2 + 9} = -2$
   Ответ: $-2$.
6. Найдите ординату точки пересечения прямых: $y=3 x-5, y=-8 x+17$
   Решение: Приравняем уравнения:
   $3x - 5 = -8x + 17 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x = 2$
   Подставим $x = 2$ в первое уравнение:
   $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$
   Ответ: 1.
7. Дан прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.
   Решение: Гипотенуза по теореме Пифагора:
   $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см
   Площадь треугольника:
   $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ см²
   Высота к гипотенузе:
   $h = \frac{2S}{c} = \frac{48}{10} = 4,8$ см
   Ответ: 4,8 см.
8. Дан прямоугольный треугольник с катетами $6 \mathrm{~cm}$ и $8 \mathrm{~cm}$. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.
   Решение: Решение аналогично предыдущей задаче.
   Ответ: 4,8 см.
9. Один из корней уравнения $5 x^{2}+b x+24=0$ равен 8. Найдите коэффициент $b$
   Решение: Подставим $x = 8$ в уравнение:
   $5 \cdot 8^2 + 8b + 24 = 0 \Rightarrow 320 + 8b + 24 = 0 \Rightarrow 8b = -344 \Rightarrow b = -43$
   Ответ: $-43$.
10. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на $109$. Найдите большее из этих чисел.
    Решение: Пусть числа $n$ и $n+1$:
    $n(n+1) = n + (n+1) + 109 \Rightarrow n^2 - n - 110 = 0$
    Корни уравнения:
    $n = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{1 \pm 21}{2}$
    Натуральное решение $n = 11$, большее число $12$
    Ответ: 12.
11. Диагонали ромба численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{40} x+2=0$. Найдите сторону ромба.
    Решение: По теореме Виета:
    $d_1 + d_2 = \sqrt{40}$, $d_1 \cdot d_2 = 2$
    Сторона ромба:
    $a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} = \frac{\sqrt{(d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2}}{2} = \frac{\sqrt{40 - 4}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
    Ответ: 3.