8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2018 год


Вариант 1



  1. Вычислите: $4,375 *\left(1 \frac{3}{7}-\frac{34}{35}\right)$
  2. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров нужно вынуть, чтобы гарантировано достать два шара одного цвета.
  3. Акция стоила 5000 руб. Цена на акцию сначала увеличилась на $20 \%$ процентов, а потом уменьшилась на 20\%. Сколько рублей стала стоить акция?
  4. Найдите значение выражения: $\sqrt{8+2 \sqrt{7}}-\sqrt{7}$
  5. Упростите: $\left(\frac{1}{a-2}-\frac{4 a}{a^{2}-4} *\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a^{2}-a}\right)\right) * 2(a+2)$
  6. Найдите ординату точки пересечения прямых: $y=-x-9$ и $y=3 x+19$
  7. В треугольнике ABC BD - высота (точка D лежит на отрезке AC). Внешний угол треугольника при вершине А равен $135^{\circ} \angle \mathrm{DBC}=60^{\circ}, \mathrm{AD}=8 \mathrm{~cm}$. Найдите длину стороны $\mathrm{BC}$.
  8. Один из корней уравнения $2 x^{2}-b x+4=0$ равен $-1$. Найдите коэффициент $\mathrm{b} .$
  9. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 155. Найдите меньшее из этих чисел.
  10. Диагонали ромба численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{108} x+4=0 .$ Найдите сторону ромба.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $4,375 \cdot \left(1 \frac{3}{7}-\frac{34}{35}\right)$
    Решение: Переведём смешанное число в дробь:
    $1 \frac{3}{7} = \frac{10}{7}$
    Вычислим разность:
    $\frac{10}{7} - \frac{34}{35} = \frac{50}{35} - \frac{34}{35} = \frac{16}{35}$
    Умножим:
    $4,375 \cdot \frac{16}{35} = \frac{35}{8} \cdot \frac{16}{35} = 2$
    Ответ: 2.
  2. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров нужно вынуть, чтобы гарантированно достать два шара одного цвета.
    Решение: В худшем случае вынимаем по одному шару каждого цвета: 1 зелёный + 1 красный + 1 синий = 3 шара. Следующий шар любого цвета даст пару.
    Ответ: 4.
  3. Акция стоила 5000 руб. Цена на акцию сначала увеличилась на $20\%$, а потом уменьшилась на $20\%$. Сколько рублей стала стоить акция?
    Решение: После повышения:
    $5000 \cdot 1,2 = 6000$ руб.
    После понижения:
    $6000 \cdot 0,8 = 4800$ руб.
    Ответ: 4800.
  4. Найдите значение выражения: $\sqrt{8+2 \sqrt{7}}-\sqrt{7}$
    Решение: Заметим, что $8 + 2\sqrt{7} = (\sqrt{7} + 1)^2$
    $\sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} - \sqrt{7} = \sqrt{7} + 1 - \sqrt{7} = 1$
    Ответ: 1.
  5. Упростите: $\left(\frac{1}{a-2}-\frac{4 a}{a^{2}-4} \cdot \left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a^{2}-a}\right)\right) \cdot 2(a+2)$
    Решение: Упростим внутренние скобки:
    $\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a(a-1)} = \frac{a - 1}{a(a-1)} = \frac{1}{a}$
    Подставим в выражение:
    $\frac{1}{a-2} - \frac{4a}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a-2} - \frac{4}{(a-2)(a+2)}$
    Приведём к общему знаменателю:
    $\frac{a+2 - 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \frac{1}{a+2}$
    Умножим на $2(a+2)$:
    $\frac{1}{a+2} \cdot 2(a+2) = 2$
    Ответ: 2.
  6. Найдите ординату точки пересечения прямых: $y=-x-9$ и $y=3x+19$
    Решение: Приравняем уравнения:
    $-x - 9 = 3x + 19 \Rightarrow -4x = 28 \Rightarrow x = -7$
    Подставим $x = -7$ в первое уравнение:
    $y = -(-7) - 9 = 7 - 9 = -2$
    Ответ: -2.
  7. В треугольнике ABC BD - высота (точка D лежит на отрезке AC). Внешний угол при вершине А равен $135^{\circ}$, $\angle \mathrm{DBC}=60^{\circ}$, $\mathrm{AD}=8 \mathrm{~cm}$. Найдите длину стороны $\mathrm{BC}$.
    Решение: Внешний угол при A $135^{\circ}$ $\Rightarrow$ внутренний угол $\angle BAC = 45^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике ABD: $\angle BAD = 45^{\circ}$ $\Rightarrow$ $BD = AD = 8$ см. В треугольнике BDC: $\cos 60^{\circ} = \frac{BD}{BC} \Rightarrow BC = \frac{8}{0,5} = 16$ см.
    Ответ: 16.
  8. Один из корней уравнения $2 x^{2}-b x+4=0$ равен $-1$. Найдите коэффициент $\mathrm{b}$.
    Решение: Подставим $x = -1$:
    $2(-1)^2 - b(-1) + 4 = 0 \Rightarrow 2 + b + 4 = 0 \Rightarrow b = -6$
    Ответ: -6.
  9. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 155. Найдите меньшее из этих чисел.
    Решение: Пусть меньшее число $n$:
    $n(n+1) = n + (n+1) + 155 \Rightarrow n^2 - n - 156 = 0$
    Корни: $n = \frac{1 \pm 25}{2}$. Натуральный корень: $n = 13$.
    Ответ: 13.
  10. Диагонали ромба численно равны корням уравнения $x^{2}-\sqrt{108} x+4=0$. Найдите сторону ромба.
    Решение: По теореме Виета: $d_1 + d_2 = \sqrt{108}$, $d_1 d_2 = 4$. Сторона ромба:
    $a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} = \frac{\sqrt{(d_1 + d_2)^2 - 2d_1 d_2}}{2} = \frac{\sqrt{108 - 8}}{2} = \frac{10}{2} = 5$
    Ответ: 5.
Материалы школы Юайти