8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2013 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2013
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2013 год




  1. Цена товара после двух повышений цен возросла на $170\%$, причём первый раз цена повышалась на $80\%$. Второе повышение цен осуществлялось на:

    1. $130\%$
    2. $50\%$
    3. $68\%$
    4. $30\%$
    5. $42{,}5\%$


  2. Длина отрезка, на котором определена функция \( y = (x - 8)(x - 2) \), равна:

    1. 4
    2. 3
    3. 6
    4. 2
    5. 8


  3. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки параболы \( y = x^2 \) с абсциссами 2 и 3, равен:

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    5. 5


  4. Человек преодолевает некоторое расстояние бегом трусцой со скоростью 6 км/ч и возвращается обратно по тому же маршруту пешком со скоростью 4 км/ч. Какова средняя скорость на этом маршруте?

    1. 5 км/ч
    2. $4{,}5$ км/ч
    3. $4{,}8$ км/ч
    4. $4{,}9$ км/ч
    5. $4{,}7$ км/ч


  5. Длина отрезка числовой прямой, все точки которой удовлетворяют неравенству \( |x - 3| \leq 2 \), равна:

    1. 4
    2. 2
    3. 3
    4. 5
    5. 1


  6. Если включить один насос на 2 часа, а другой на 3 часа, то они заполнят бак водой на 90% объёма. Если наоборот — первый на 3 часа, а второй на 2 — бак заполнится на 70\%. Если включить оба насоса на 1 час, то бак заполнится на:

    1. $32\%$
    2. $36\%$
    3. $40\%$
    4. $38\%$
    5. $16\%$


  7. Сумма квадратов корней уравнения \( x^2 - 13x - 10 = 0 \) равна:

    1. 31
    2. 13
    3. 9
    4. 25
    5. $-19$


  8. Чтобы сумма первых чётных чисел натурального ряда равнялась 182, их нужно взять в количестве:

    1. 15
    2. 12
    3. 11
    4. 14
    5. 13


  9. В ромбе с диагоналями 6 см и 8 см радиус вписанной окружности равен:

    1. \( \frac{6}{5} \)
    2. $2{,}4$ см
    3. \( \frac{34}{5} \)
    4. \( \frac{32}{5} \)
    5. 2 см


  10. На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина: первый и второй. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а каждая обложка — 2 мм. Червь прогрыз путь (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Какой путь он прогрыз?

    1. 2 см
    2. 48 мм
    3. 44 мм
    4. 4 мм
    5. 22 мм


Вопрос 11

Дано неравенство: \[ (x - a)^2 + 4(x - 3) \geq 0 \]

  1. При каких значениях параметра \( a \) любое действительное число является решением неравенства?
  2. При каких значениях параметра \( a \) неравенство имеет единственное решение?
  3. При каких значениях параметра \( a \) неравенство не имеет решений?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Цена товара после двух повышений цен возросла на $170\%$, причём первый раз цена повышалась на $80\%$. Второе повышение цен осуществлялось на:
    Решение: Пусть начальная цена — $P$. После первого повышения цена стала $1,8P$. После второго повышения на $x\%$ цена стала $1,8P \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 2,7P$ (т.к. общий рост на $170\%$ означает $P + 1,7P = 2,7P$). Тогда:
    $1,8 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 2,7 \implies 1 + \frac{x}{100} = 1,5 \implies x = 50\%$.
    Ответ: 2) $50\%$.

  2. Длина отрезка, на котором определена функция \( y = (x - 8)(x - 2) \), равна:
    Решение: Функция определена при всех действительных $x$, так как является многочленом. Однако в условии, вероятно, допущена ошибка. Если предположить, что функция имеет вид \( y = \sqrt{(x - 8)(x - 2)} \), то область определения — \( x \leq 2 \) или \( x \geq 8 \). Длина "промежутка" между 2 и 8 равна 6.
    Ответ: 3) 6.

  3. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки параболы \( y = x^2 \) с абсциссами 2 и 3, равен:
    Решение: Точки: $(2, 4)$ и $(3, 9)$. Угловой коэффициент:
    $k = \frac{9 - 4}{3 - 2} = 5$.
    Ответ: 5) 5.

  4. Средняя скорость на маршруте:
    Решение: Средняя скорость при равных расстояниях:
    $v_{\text{ср}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 4}{6 + 4} = 4,8$ км/ч.
    Ответ: 3) 4,8 км/ч.

  5. Длина отрезка числовой прямой для \( |x - 3| \leq 2 \):
    Решение: $x \in [1; 5]$. Длина: $5 - 1 = 4$.
    Ответ: 1) 4.

  6. Производительность насосов:
    Решение: Система уравнений:
    $\begin{cases} 2x + 3y = 0,9 \\ 3x + 2y = 0,7 \end{cases}$.
    Сложение уравнений: $5x + 5y = 1,6 \implies x + y = 0,32$. За 1 час заполнят $32\%$.
    Ответ: 1) $32\%$.

  7. Сумма квадратов корней уравнения \( x^2 - 13x - 10 = 0 \):
    Решение: По теореме Виета:
    $x_1 + x_2 = 13$, $x_1x_2 = -10$.
    Сумма квадратов: $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 169 + 20 = 189$ (ответа нет в вариантах).

  8. Количество чётных чисел для суммы 182:
    Решение: Сумма первых $n$ чётных чисел: $n(n+1) = 182 \implies n = 13$.
    Ответ: 5) 13.

  9. Радиус вписанной окружности в ромб:
    Решение: Площадь ромба $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$. Сторона ромба $a = 5$ (из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4). Периметр $P = 20$. Радиус: $r = \frac{S}{P} = \frac{24}{20} = 2,4$ см.
    Ответ: 2) 2,4 см.

  10. Путь червя:
    Решение: Толщина страниц одного тома: 20 мм. Червяк проходит через все страницы первого тома (20 мм), две обложки (2 + 2 мм) и все страницы второго тома (20 мм): $20 + 4 + 20 = 44$ мм.
    Ответ: 3) 44 мм.

  11. Неравенство \((x - a)^2 + 4(x - 3) \geq 0\):
    Решение:
    1. Квадратное неравенство выполняется для всех $x$, если дискриминант $\leq 0$:
      $D = (-2a + 4)^2 - 4(a^2 - 12) = -16a + 64 \leq 0 \implies a \geq 4$.
    2. Единственное решение при $D = 0 \implies a = 4$.
    3. Нет таких $a$, так как квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом не может быть всегда отрицательным.
    Ответ: А) $a \geq 4$; Б) $a = 4$; В) нет решений.
Материалы школы Юайти