Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2010 год вариант 2

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2010 год

Вариант 2010-9-2

1. Упростить выражение:
   $\frac{3}{a \cdot(a-3) \cdot(a-c)}+\frac{3}{3 \cdot(3-c) \cdot(3-a)}+\frac{3}{c \cdot(c-a) \cdot(c-3)}$
   
2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-4$ и $14 .$
3. Дана прямая, являющаяся графиком функции $y=-x+2$. Постройте любую параллельную ей прямую и запишите функцию, графиком которой она является.
4. На велосипеде расстояние между двумя деревнями преодолевается за 1,5 часа, а на старой кляче, запряженной в телегу, за 2 часа. Найдите скорость, которую развивает велосипедист, если известно, что она больше скорости старой клячи на 7 км/ч.
5. $3 \times 7=21=25-4=5^{2}-4$, a $17 \times 21=357=361-4=19^{2}-4$. Верно ли аналогичное утверждение для любых натуральных чисел, разность которых равна $4 ?$
6. Треугольник $A B C$ прямоугольный. Из вершины прямого угла на гипотенузу опущены медиана и биссектриса. Угол между медианой и биссектрисой равен $20^{\circ} .$ Найдите острые углы треугольника $A B C$.
7. Найдите площадь большого квадрата, если известна площадь заштрихованных квадрата и прямоугольника.
   

Решения задач

1. Упростить выражение:
   $ \frac{3}{a \cdot(a-3) \cdot(a-c)}+\frac{3}{3 \cdot(3-c) \cdot(3-a)}+\frac{3}{c \cdot(c-a) \cdot(c-3)} $
   Решение: Приведем все дроби к общему знаменателю $3a(a-3)(3-c)(c-a)$. После сложения числитель примет вид:
   $3(3-c)(c-a) + 3a(c-a) + 3a(a-3)$
   Раскроем скобки и упростим:
   $9(c-a) - 3c(c-a) + 3a(c-a) + 3a^2 - 9a$
   После сокращения всех слагаемых останется $3ac$. Тогда выражение упрощается до:
   $\frac{3ac}{3a(a-3)(3-c)(c-a)} = \frac{c}{(3-a)(c-3)(a-c)} = \frac{1}{a(a-c)}$
   Ответ: $\frac{1}{a(a-c)}$.
   
   
2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $-4$ и $14 .$
   Решение: Используем формулу уравнения по корням:
   $(x - (-4))(x - 14) = (x + 4)(x - 14) = x^2 - 14x + 4x - 56 = x^2 - 10x - 56$
   Ответ: $x^2 - 10x - 56 = 0$.
   
   
3. Дана прямая, являющаяся графиком функции $y=-x+2$. Постройте любую параллельную ей прямую и запишите функцию, графиком которой она является.
   Решение: Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Выберем свободный член $b \neq 2$, например $b = 0$:
   Ответ: $y = -x$.
   
   
4. На велосипеде расстояние между двумя деревнями преодолевается за 1,5 часа, а на старой кляче, запряженной в телегу, за 2 часа. Найдите скорость, которую развивает велосипедист, если известно, что она больше скорости старой клячи на 7 км/ч.
   Решение: Пусть скорость клячи $x$ км/ч, тогда скорость велосипедиста $x + 7$ км/ч. Расстояние одинаковое:
   $(x + 7) \cdot 1,5 = x \cdot 2$
   $1,5x + 10,5 = 2x$
   $0,5x = 10,5 \Rightarrow x = 21$ км/ч
   Скорость велосипедиста: $21 + 7 = 28$ км/ч
   Ответ: 28 км/ч.
   
   
5. $3 \times 7=21=25-4=5^{2}-4$, a $17 \times 21=357=361-4=19^{2}-4$. Верно ли аналогичное утверждение для любых натуральных чисел, разность которых равна $4 ?$
   Решение: Пусть числа $n$ и $n+4$. Их произведение:
   $n(n+4) = n^2 + 4n$
   Среднее число между ними: $n + 2$. Тогда:
   $(n + 2)^2 - 4 = n^2 + 4n + 4 - 4 = n^2 + 4n$
   Равенство выполняется для любых натуральных $n$.
   Ответ: Да.
   
   
6. Треугольник $A B C$ прямоугольный. Из вершины прямого угла на гипотенузу опущены медиана и биссектриса. Угол между медианой и биссектрисой равен $20^{\circ} .$ Найдите острые углы треугольника $A B C$.
   Решение: В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине. Биссектриса прямого угла делит его пополам. Угол между медианой и биссектрисой равен разности углов между ними и гипотенузой. Составим уравнения:
   $\alpha - \beta = 20^{\circ}$ и $\alpha + \beta = 90^{\circ}$
   Решая систему, получим $\alpha = 55^{\circ}$, $\beta = 35^{\circ}$
   Ответ: $35^{\circ}$ и $55^{\circ}$.
   
   
7. Найдите площадь большого квадрата, если известна площадь заштрихованных квадрата и прямоугольника.
   Решение: Пусть площадь малого квадрата $S_1$, прямоугольника $S_2$. Стороны прямоугольника равны стороне малого квадрата и разности сторон большого квадрата. Тогда площадь большого квадрата:
   $S = \left(\frac{S_2}{\sqrt{S_1}}\right)^2 = \frac{S_2^2}{S_1}$
   Ответ: $\frac{S_2^2}{S_1}$.