Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2009 год вариант 2

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2009 год

1. Упростить выражение: \[ \frac{a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1 - (a^2 - 2a + 1)}{4a + 16} \cdot \left( \frac{a + 4}{a} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 16} \right) \]
   
   
2. Найти все неположительные корни уравнения: \[ x^2 + 6x = 0 \]
   
   
3. Построить графики функций \( y = x + 2 \) и \( y = 4 \), и найти координаты точек их пересечения.
   
   
4. Черепаха проплыла 6 км по течению реки в одном направлении и затем приплыла обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
   
   
5. Из-за высокого спроса на некоторый товар его цена увеличилась на $25\%$, однако через некоторое время она снизилась на $20\%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
   
   
6. Диагонали ромба равны \( a \) и \( 3a \). Найдите углы ромба.
   
   
7. Известно, что \( ab = 7 \), а \( a^2 + b^2 = 50 \). Какие натуральные значения могут принимать \( a \) и \( b \)? Обоснуйте ответ.

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1 - (a^2 - 2a + 1)}{4a + 16} \cdot \left( \frac{a + 4}{a} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 16} \right) \] Решение:
   Числитель первой дроби:
   $a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a + 1 = (a - 1)^4$
   Вычитаемое: $(a - 1)^2$
   Числитель: $(a - 1)^4 - (a - 1)^2 = (a - 1)^2(a^2 - 2a)$
   Знаменатель: $4(a + 4)$
   Вторая часть выражения:
   $\frac{a + 4}{a} : \frac{(a + 1)^2}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a(a + 1)^2}$
   Объединяем части:
   $\frac{(a - 1)^2(a^2 - 2a)}{4(a + 4)} \cdot \frac{(a - 4)}{a(a + 1)^2} = \frac{(a - 1)^2(a - 2)(a - 4)}{4a(a + 4)(a + 1)^2}$
   Ответ: $\frac{(a - 1)^2(a - 2)(a - 4)}{4a(a + 4)(a + 1)^2}$.
   
   
2. Найти все неположительные корни уравнения: \[ x^2 + 6x = 0 \] Решение:
   $x(x + 6) = 0$
   Корни: $x = 0$, $x = -6$
   Неположительные корни: 0 и -6.
   Ответ: 0; -6.
   
   
3. Построить графики функций \( y = x + 2 \) и \( y = 4 \), и найти координаты точек их пересечения.
   Решение:
   Решим уравнение $x + 2 = 4$:
   $x = 2$
   При $x = 2$: $y = 4$
   Точка пересечения: $(2; 4)$.
   Ответ: $(2; 4)$.
   
   
4. Черепаха проплыла 6 км по течению реки в одном направлении и затем приплыла обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
   Решение:
   Пусть $v$ — собственная скорость (км/ч).
   Уравнение: $\frac{6}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 4$
   Общий знаменатель:
   $\frac{6(v - 2) + 6(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 4$
   $12v = 4(v^2 - 4)$
   $v^2 - 3v - 4 = 0$
   Корни: $v = 4$ км/ч и $v = -1$ (не подходит)
   Ответ: 4 км/ч.
   
   
5. Из-за высокого спроса на некоторый товар его цена увеличилась на $25\%$, однако через некоторое время она снизилась на $20\%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
   Решение:
   Пусть исходная цена — $P$.
   После повышения: $1,25P$
   После снижения: $1,25P \cdot 0,8 = P$
   Итоговая цена равна исходной. Изменение: $0\%$.
   Ответ: $0\%$.
   
   
6. Диагонали ромба равны \( a \) и \( 3a \). Найдите углы ромба.
   Решение:
   Половины диагоналей: $\frac{a}{2}$ и $\frac{3a}{2}$
   Тангенс угла: $\tan \alpha = \frac{3a/2}{a/2} = 3$
   Угол: $\alpha = \arctan 3 \approx 71,56^{\circ}$
   Смежный угол: $180^{\circ} - 71,56^{\circ} \approx 108,44^{\circ}$
   Ответ: $\approx 71,56^{\circ}$ и $\approx 108,44^{\circ}$.
   
   
7. Известно, что \( ab = 7 \), а \( a^2 + b^2 = 50 \). Какие натуральные значения могут принимать \( a \) и \( b \)? Обоснуйте ответ.
   Решение:
   Возможные пары: $(1; 7)$ и $(7; 1)$
   Проверка:
   $1^2 + 7^2 = 1 + 49 = 50$
   Ответ: $(1; 7)$ и $(7; 1)$.