Лицей НИУ ВШЭ из 8 в 9 класс 2009 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
2009 год
Вариант 1
- Упростить выражение:
\[
\frac{a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - (a^2 - 2a + 1)}{3a + 9} \cdot \left( \frac{a + 3}{a} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 9} \right)
\]
- Найти все неотрицательные корни уравнения:
\[
x^2 - 2x = 0
\]
- Построить графики функций \( y = -x + 2 \) и \( y = 1 \), и найти координаты точек их пересечения.
- Черепаха проплыла 8 км по течению реки в одном направлении и затем вернулась обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
- Из-за низкого спроса на некоторый товар его цена снизилась на 20\%, однако через некоторое время она увеличилась на 25% от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
- Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями.
- Известно, что \( x^2 + y^2 = 37 \), а \( xy = 6 \). Какие натуральные значения могут принимать \( x \) и \( y \)? Обоснуйте ответ.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\frac{a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - (a^2 - 2a + 1)}{3a + 9} \cdot \left( \frac{a + 3}{a} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2 - 9} \right)
\]
Решение:
Разложим числитель первой дроби:
$a^3 - 3a^2 + 3a - 1 = (a-1)^3$,
$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$
Числитель: $(a-1)^3 - (a-1)^2 = (a-1)^2(a - 2)$
Знаменатель: $3(a + 3)$
Преобразуем вторую часть выражения:
$\frac{a + 3}{a} : \frac{(a + 1)^2}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{(a + 3)(a - 3)}{a(a + 1)^2}$
Объединяем части:
$\frac{(a-1)^2(a - 2)}{3(a + 3)} \cdot \frac{(a - 3)(a + 3)}{a(a + 1)^2} = \frac{(a-1)^2(a - 2)(a - 3)}{3a(a + 1)^2}$
Ответ: $\frac{(a-1)^2(a - 2)(a - 3)}{3a(a + 1)^2}$.
- Найти все неотрицательные корни уравнения:
\[
x^2 - 2x = 0
\]
Решение:
$x(x - 2) = 0$
Корни: $x = 0$, $x = 2$
Неотрицательные корни: 0 и 2.
Ответ: 0; 2.
- Построить графики функций \( y = -x + 2 \) и \( y = 1 \), и найти координаты точек их пересечения.
Решение:
Решим уравнение $-x + 2 = 1$:
$-x = -1 \Rightarrow x = 1$
При $x = 1$: $y = 1$
Точка пересечения: $(1; 1)$.
Ответ: $(1; 1)$.
- Черепаха проплыла 8 км по течению реки в одном направлении и затем вернулась обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
Решение:
Пусть $v$ — собственная скорость черепахи (км/ч).
Время по течению: $\frac{8}{v + 2}$ ч
Время против течения: $\frac{8}{v - 2}$ ч
Уравнение: $\frac{8}{v + 2} + \frac{8}{v - 2} = 3$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{8(v - 2) + 8(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 3$
$16v = 3(v^2 - 4)$
$3v^2 - 16v - 12 = 0$
Корни: $v = 6$ км/ч и $v = -\frac{2}{3}$ (не подходит)
Ответ: 6 км/ч.
- Из-за низкого спроса на некоторый товар его цена снизилась на 20\%, однако через некоторое время она увеличилась на 25% от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
Решение:
Пусть исходная цена — $P$.
После снижения: $0,8P$
После повышения: $0,8P \cdot 1,25 = P$
Итоговая цена равна исходной. Изменение: $0\%$.
Ответ: 0\%.
- Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями.
Решение:
Пусть сторона $a$, диагональ $2a$.
По теореме Пифагора: $\sqrt{a^2 + b^2} = 2a \Rightarrow b = a\sqrt{3}$
Диагонали равны и делятся пополам. Треугольник из половин диагоналей и стороны $a$:
$\cos \alpha = \frac{(a)^2 + (a)^2 - (a\sqrt{3})^2}{2 \cdot a \cdot a} = -\frac{1}{2}$
Угол между диагоналями: $120^{\circ}$.
Ответ: $120^{\circ}$.
- Известно, что \( x^2 + y^2 = 37 \), а \( xy = 6 \). Какие натуральные значения могут принимать \( x \) и \( y \)? Обоснуйте ответ.
Решение:
Из $xy = 6$: $y = \frac{6}{x}$
Подставим в первое уравнение:
$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 37$
$x^4 - 37x^2 + 36 = 0$
Решаем как квадратное уравнение:
$x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$, тогда $y = 6$
$x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$, тогда $y = 1$
Натуральные пары: $(1; 6)$ и $(6; 1)$.
Ответ: $(1; 6)$ и $(6; 1)$.
Материалы школы Юайти