Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2025 демо

1. (0,5 балла) Найдите значение выражения \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(6^2)^3}. \]
2. (1 балл) Решите уравнение \[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = \frac{x - 6}{4}. \]
3. (1 балл) Вычислите: \[ 3 \,\frac{7}{11} \cdot 1{,}375 - 0{,}24 : 0{,}3. \]
4. (1 балл) Найдите значение выражения \[ (3x + y)(y - 3x) - (x - y)^2 \] при \(x = 0{,}1\), \(y = 5\).
5. (1 балл) Найдите модуль разности чисел НОК(36; 48) и НОД(36; 48).
6. (1 балл) Некоторая прямая параллельна прямой \(y = 2x\) и проходит через точку \((0; -3)\). Найдите сумму координат точки пересечения этой прямой с прямой, заданной уравнением \(y = 0{,}5x + 3\).
7. (1 балл) Если от листа бумаги отрезать кусок, площадь которого составляет 20% всего листа, то площадь оставшейся части будет 108 см\(^2\). Найдите площадь всего листа.
8. (1 балл) Из города \(A\) в город \(B\), расположенный ниже по течению реки, отправилась лодка. Она прибыла в \(B\) через 3 часа после старта, а после сразу развернулась и отправилась в \(A\), потратив на обратный путь 5 часов. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 3 км/ч.
9. (1 балл) В треугольнике \(ABC\) из угла \(C\) проведены высота \(CH\) и биссектриса \(CC_1\). Найдите угол \(HCC_1\), если углы \(A\) и \(B\) равны \(75^\circ\) и \(35^\circ\) соответственно.
10. (1,5 балла) Оля представила число 161 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, что произведение всех слагаемых оказалось равно 161. Укажите количество слагаемых в составленной Олей сумме.

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(6^2)^3}. \]
   Решение: \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(2^2 \cdot 3^2)^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8}{2^6 \cdot 3^6} = 3^{2} = 9. \]
   Ответ: 9.
2. Решите уравнение \[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = \frac{x - 6}{4}. \]
   Решение: Умножаем обе части уравнения на 12 (НОК знаменателей): \[ 6(x - 3) - 4(2x + 1) = 3(x - 6). \]
   Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 6x - 18 - 8x -4 = 3x -18 \Rightarrow -2x -22 = 3x -18 \Rightarrow -4 = 5x \Rightarrow x = -\frac{4}{5} = -0{,}8. \]
   Ответ: \(-0{,}8\).
3. Вычислите: \[ 3 \,\frac{7}{11} \cdot 1{,}375 - 0{,}24 : 0{,}3. \]
   Решение: \[ 3\frac{7}{11} = \frac{40}{11}, \quad 1{,}375 = \frac{11}{8} \Rightarrow \frac{40}{11} \cdot \frac{11}{8} = 5; \] \[ 0{,}24 : 0{,}3 = 0{,}8 \Rightarrow 5 - 0{,}8 = 4{,}2. \]
   Ответ: \(4{,}2\).
4. Найдите значение выражения \[ (3x + y)(y - 3x) - (x - y)^2 \] при \(x = 0{,}1\), \(y = 5\).
   Решение: Упростим выражение: \[ y^2 - 9x^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = -10x^2 + 2xy. \]
   Подставляем значения: \[ -10 \cdot (0{,}1)^2 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 5 = -0{,}1 + 1 = 0{,}9. \]
   Ответ: \(0{,}9\).
5. Найдите модуль разности чисел НОК(36; 48) и НОД(36; 48).
   Решение: НОД(36;48) = 12; НОК(36;48) = 144; \[ |144 - 12| = 132. \]
   Ответ: 132.
6. Найдите сумму координат точки пересечения прямой \(y = 2x - 3\) и \(y = 0{,}5x + 3\).
   Решение: \[ 2x - 3 = 0{,}5x + 3 \Rightarrow 1{,}5x = 6 \Rightarrow x =4 \Rightarrow y = 5. \]
   Сумма координат: \(4 + 5 = 9\).
   Ответ: 9.
7. Площадь оставшейся части составляет 80% от исходной: \[ 0{,}8S = 108 \Rightarrow S = \frac{108}{0{,}8} = 135 \ (\text{см}^2). \]
   Ответ: 135 см\(^2\).
8. Расстояние между городами: \[ 3(v + 3) = 5(v - 3) \Rightarrow 3v +9 = 5v -15 \Rightarrow 24 = 2v \Rightarrow v = 12 \ (\text{км/ч}). \]
   Ответ: 12 км/ч.
9. В треугольнике \(ABC\) угол \(C = 70^\circ\). Биссектриса делит угол \(C\) на \(35^\circ\). Высота \(CH\) образует угол \(55^\circ\) с \(BC\). Тогда угол \(HCC_1 = 55^\circ - 35^\circ = 20^\circ\).
   Ответ: \(20^\circ\).
10. Число 161 можно представить как \(131\) единица, \(7\) и \(23\). Их сумма: \[ 131 + 7 + 23 = 161. \]
    Ответ: \(133\).