Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2024 устное Математика и физика

1. Мэр, прогуливаясь по улицам любимого города, обращал внимание, что на одной из улиц вдоль правой стороны тротуара проходят 100 машин. Среди них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых «мерседесов». Ещё он обратил внимание, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Верно ли, что какие‑то три мерседеса, стоящие подряд, — одного цвета?
   
   
2. Гендельф попросил Фродо загадать шесть простых чисел и сказать ему, на сколько наименьшее из загаданных отличается от остальных. Фродо сказал, что второе — на два, третье — на шесть, четвёртое — на восемь, пятое — на двенадцать, шестое — на четырнадцать. Гендельф с уверенностью назвал все шесть загаданных чисел. Сможете ли сделать это Вы?
   
   
3. На прямой отмечено 2019 точек, лежащих вне отрезка \(AB\). Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки \(A\) не равна сумме расстояний от этих точек до точки \(B\).
   
   
4. Гном Балин решил развлечь своих друзей‑гномов. Он положил на стол 4 монеты и сказал, что среди них ровно одна фальшивая. Она отличается по весу от остальных. Балин предложил гномам угадывать, какая монета фальшивая, при этом разрешил брать две группы монет и спрашивать у него, какая из них легче. В том случае он будет говорить, какая группа легче; если же группы равны по весу, то он будет показывать любую. У гномов есть всего 3 вопроса. Смогут ли они угадать фальшивую монету?
   
   
5. В треугольнике высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол на три равных части. Найдите меньшую сторону треугольника, если его бо́льшая сторона равна 6.
   
   
6. Э. Рубик написал на каждой грани куба по одному натуральному числу, а затем для каждой вершины вычислил произведение чисел на трёх гранях, примыкающих к ней. Оказалось, что сумма восьми полученных произведений равна 1001. Чему может равняться сумма шести чисел, написанных на гранях куба?
   
   
7. Торин Дубощит пытается распределить 100 кусков золота массами \(1,2,3,\dots,100\) на 10 кучек разной массы. При этом он старается придерживаться условия: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней кусочков. Сможет ли Торин осуществить свой замысел?
   
   
8. В клубе любителей числа 2019 прошёл чемпионат по шашкам. В какой‑то момент на доске \(2019\times2019\) оказалось 2019 шашек. Более того, их расположение было симметрично относительно обеих главных диагоналей. Верно ли, что одна из шашек находится в центральной клетке доски?
   
   
9. Точка лежит внутри треугольника. Сравните сумму расстояний от этой точки до вершин треугольника и сумму расстояний до середин сторон треугольника.
10. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, на ничью — каждому по \(n\) очков (\(n\in\mathbb{N}\)), за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \(n\) это возможно?
    
    
11. Лиза от скуки решила выписать по возрастанию все семизначные палиндромы, то есть числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Какое число Лиза запишет 2019‑м?
    
    
12. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
    
    
13. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\) таким образом, что угол \(PMB\) равен углу \(QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
    
    
14. В клетках таблицы \(3\times3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что все шесть произведений по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
    
    
15. К пятизначному числу \(A\) сначала приписали 1 слева (получили \(P\)), а затем 1 справа (получили \(Q\)). Оказалось, что \(Q = 3P\). Чему может равняться число \(A\)?
    
    
16. Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых 9 параллельны одной стороне квадрата, а 9 — другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно 9 из них — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
    
    
17. В таблице \(3\times3\) расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2\times2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
    
    
18. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных и переключить все, кроме средней. Можно ли таким образом выключить все лампочки?
    
    
19. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40 точек. Известно, что ровно 22 точки имеют хотя бы одну соседнюю чёрную точку, а ровно 30 — хотя бы одну соседнюю белую точку. Сколько белых точек расположено на окружности?

Решения задач

1. Верно, какие-то три мерседеса одного цвета стоят подряд. Рассмотрим мерседесы как цветные блоки. Всего 70 мерседесов: красные (30), жёлтые (20), розовые (20). Максимальное количество пар блоков разных цветов: 20+20+20=60. Остаётся 70-60=10 мерседесов, которые образуют тройки одного цвета. Значит, есть минимум 10 троек красных, но красных всего 30 ⇒ возможны 10 троек. Но если предположить, что красные не образуют троек, их будет максимум 2*15=30 (15 пар). Но тогда другие цвета не могут разместиться из-за ограничений на соседство. Ответ: верно.
2. Пусть наименьшее простое число \( p \). Тогда: \[ \begin{cases} p+2 \text{ – второе} \\ p+6 \text{ – третье} \\ p+8 \text{ – четвёртое} \\ p+12 \text{ – пятое} \\ p+14 \text{ – шестое} \end{cases} \] Проверим \( p = 5 \): \(5, 7, 11, 13, 17, 19\) – все простые. Ответ: 5, 7, 11, 13, 17, 19.
3. Пусть точки лежат вне отрезка \(AB\). Тогда все они расположены либо справа от \(B\), либо слева от \(A\). Для точки \(X\) вне \(AB\) разность расстояний \(XA - XB\) сохраняет знак. Если точки справа от \(B\), то \(XA > XB\); если слева от \(A\), то \(XA < XB\). Сумма знакопостоянных величин не может быть нулём. Ответ: доказано.
4. Разделим монеты на группы:
   1. Взвесим 1 vs 2. Если равны, фальшивая среди 3 и 4.
   2. Сравним 1 и 3. Если равны ⇒ фальшивая 4.
   3. Если 1 ≠ 3 ⇒ фальшивая 3. Если первое взвешивание неравно, сравним новую группу для определения фальшивой. Ответ: да, смогут.
5. Пусть в треугольнике \(ABC\) угол \(A\) разделён медианой \(AM\) и высотой \(AH\) на три равные части \(\alpha\). Применяя теорему синусов и свойства медианы, получим меньшую сторону \(BC = 6 \cdot \cos(3\alpha)\). Решая уравнение связи высоты и медианы, получим \(BC = 3\sqrt{3}\). Ответ: \(3\sqrt{3}\).
6. Пусть числа на гранях \(a, b, c, d, e, f\). Сумма произведений для вершин: \(\sum (abc + abd + ...) = 1001\). Факторизуя \(1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13\), предполагаем, что суммы граней равны \(13 + 11 + 7 = 31\). Ответ: 31.
7. Торин распределит куски по кучкам так, чтобы более тяжёлые кучки содержали меньше кусков. Пример: \(100\) как отдельная кучка, далее \(99\), \(98\), ..., \(91\). Тогда сумма масс превысит требуемое, но условие выполнимо. Ответ: да.
8. При симметрии относительно обеих диагоналей центр должен совпадать с шашкой (единственная точка перекрещивания диагоналей). Ответ: да, центральная клетка содержит шашку.
9. Для внутренней точки \(P\) треугольника сумма расстояний до вершин больше суммы до середин сторон. Доказательство: соединив точку с серединами сторон, получаем неравенство через треугольники меньшего размера. Ответ: сумма до вершин больше.
10. Система уравнений: \(11x + ny = 800\), где \(x, y\) – количество побед и ничьих. Решение возможно при \(n = 5\) (111 ничьих). Ответ: \(n = 5\).
11. Семизначные палиндромы вида \(abcda^T\). Порядок возрастания: первые четыре цифры от 1000 до ... 2019-й палиндром соответствует \(1000001 + 2018 \cdot 1001\). Расчет даёт \(1000001 + 2018 \cdot 1001 = 30202002\). Ответ: 3020202.
12. Минимальное число делится на 99 ⇒ сумма цифр кратна 9 и число чётное. Искомое: 288 (но 288 делится на 9 и 11? Нет. Исправляем: 666666 ⇒ суммировав до делимого на 99). Ответ: 6666666... Окончательно: 666666.
13. Из равенства углов \(∠PMB = ∠QMC\) следует подобие треугольников \(BPM\) и \(CQM\), откуда \(BQ = CP\). Ответ: доказано.
14. Минимальное наибольшее число подобрано как \(36\). Пример таблицы: \[ \begin{matrix} 1 & 9 & 4 \\ 6 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \\ \end{matrix} \] Произведения равны 36. Ответ: 36.
15. Пусть \(A = \overline{abcde}\), тогда \(P = 10^5 + A\), \(Q = 10A + 1\). Из условия \(10A + 1 = 3(10^5 + A)\). Решив, получим \(A = 42857\). Ответ: 42857.
16. При разрезании квадрата 18 прямыми получаем 100 прямоугольников. Если 9 квадратов среди них, по принципу Дирихле некоторые квадраты повторяются. Ответ: доказано.
17. Центр таблицы равен \(\sqrt{2}\). Пример расстановки: \[ \begin{matrix} 1 & 2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{2} & 2 \\ 2 & 1/2 & 1 \\ \end{matrix} \] Ответ: \(\sqrt{2}\).
18. Последовательно применяя операции переключения, возможно погасить все лампочки. Ответ: да.
19. Количество чёрных точек \(b\), белых \(w\). Из условий: \[ \begin{cases} b + w = 40 \\ 2w + b \geq 22 \\ 2b + w \geq 30 \\ \end{cases} \] Решение: \(w = 18\). Ответ: 18.