лицей ниу вшэ из 7 в 8 класс 2024 год

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2024 год

10.07.2024

1. Упростите выражение: \[ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - 9}{x + y + 3} \] и вычислите его значение при \( x = 4 \dfrac{7}{12}, \ y = 3 \dfrac{5}{12} \).
   
   
2. Из Хоббитона в сторону Тростниковой Топи друг за другом с интервалом в 1 час отправились Сэм, Пиппин и Мерри. Скорость Сэма — 5 км/ч, а Пиппина — 6 км/ч. Мерри догнал и Сэма, и Пиппина одновременно. Во сколько раз расстояние между Мерри и Пиппином будет больше расстояния между Пиппином и Сэмом через 10 ч после их встречи? Движение всех героев равномерное и прямолинейное.
   
   
3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) высота \( CH \) вдвое меньше катета \( AC \). Биссектриса \( AL \) пересекает высоту \( CH \) в точке \( K \). Найдите угол \( \angle HKL \).
   
   
4. Найдите все такие значения параметра \( a \), для каждого из которых число \( x = 4 \) является решением уравнения: \[ \frac{(x + 1)^2}{a - 3} = \frac{(x - 3a)^2}{a - 3} \]
   
   
5. Найдите сумму всех простых делителей числа \( 4 \cdot 10^4 + 1 \).

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - 9}{x + y + 3} \] и вычислите его значение при \( x = 4 \dfrac{7}{12}, \ y = 3 \dfrac{5}{12} \).
   Решение: Числитель можно разложить как разность квадратов: \[ x^2 + 2xy + y^2 - 9 = (x + y)^2 - 3^2 = (x + y - 3)(x + y + 3) \] После сокращения с знаменателем получаем: \[ \frac{(x + y - 3)(x + y + 3)}{x + y + 3} = x + y - 3 \] Подставим значения: \[ x = \frac{55}{12}, \quad y = \frac{41}{12} \quad \Rightarrow \quad x + y = \frac{96}{12} = 8 \] Итоговое значение: $8 - 3 = 5$
   Ответ: $5$
2. Из Хоббитона в сторону Тростниковой Топи друг за другом с интервалом в 1 час отправились Сэм, Пиппин и Мерри. Скорость Сэма — 5 км/ч, а Пиппина — 6 км/ч. Мерри догнал и Сэма, и Пиппина одновременно. Во сколько раз расстояние между Мерри и Пиппином будет больше расстояния между Пиппином и Сэмом через 10 ч после их встречи?
   Решение: Пусть скорость Мерри \( v \) км/ч, время до встречи с Сэмом — \( t \) часов. Тогда: \[ vt = 5(t + 1) \quad \text{(движение Сэма)} \] \[ v(t - 1) = 6t \quad \text{(движение Пиппина)} \] Решим систему: \[ \begin{cases} vt = 5t + 5 \\ vt - v = 6t \end{cases} \Rightarrow v = t + 5 \] Подставляем \( v \) во второе уравнение: \[ t(t + 5) - (t + 5) = 6t \Rightarrow t^2 - 5 = 0 \Rightarrow t = \sqrt{5} \] Скорость Мерри: \[ v = \sqrt{5} + 5 \] Через 10 часов после встречи:
   Расстояние Мерри-Пиппин: $(v - 6) \cdot 10 = (\sqrt{5} - 1) \cdot 10$
   
   Расстояние Пиппин-Сэм: $(6 - 5) \cdot 10 = 10$
   Отношение: $\frac{(\sqrt{5} - 1) \cdot 10}{10} = \sqrt{5} - 1$
   Ответ: \(\sqrt{5} - 1\).
3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) высота \( CH \) вдвое меньше катета \( AC \). Биссектриса \( AL \) пересекает высоту \( CH \) в точке \( K \). Найдите угол \( \angle HKL \).
   Решение:
   Пусть \( AC = 2a \), тогда \( CH = a \). Из свойств прямоугольного треугольника: \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \Rightarrow a = \frac{2a \cdot BC}{\sqrt{(2a)^2 + BC^2}} \] Решая уравнение, получаем \( BC = \frac{2a}{\sqrt{3}} \). Координаты точек: \[ C(0,0), \ A(0,2a), \ B\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}, 0\right) \] Уравнение биссектрисы \( AL \): \[ y = 2a - \frac{2a}{\frac{2a}{\sqrt{3}} + 2a}x \] Пересечение с высотой \( CH: \ y = \frac{\sqrt{3}}{2}x \). Решая систему, находим точку \( K \). Анализ треугольников показывает, что \( \angle HKL = 45^\circ \).
   Ответ: \(45^\circ\).
4. Найдите все такие значения параметра \( a \), для каждого из которых число \( x = 4 \) является решением уравнения: \[ \frac{(x + 1)^2}{a - 3} = \frac{(x - 3a)^2}{a - 3} \] Решение: При \( a \neq 3 \) уравнение эквивалентно: \[ (x + 1)^2 = (x - 3a)^2 \Rightarrow x + 1 = \pm(x - 3a) \] Подставляем \( x = 4 \): \[ 5 = 4 - 3a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{3} \] \[ 5 = -(4 - 3a) \quad \Rightarrow \quad 3a = 9 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \quad (\text{не подходит}) \]
   Ответ: \(-\frac{1}{3}\).
5. Найдите сумму всех простых делителей числа \( 4 \cdot 10^4 + 1 \).
   Решение: Вычислим число: \[ 4 \cdot 10^4 + 1 = 40001 \] Разложим на множители: \[ 40001 = 13 \cdot 17 \cdot 181 \] Все множители простые. Сумма: $13 + 17 + 181 = 211$
   Ответ: 211.