Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2024 демо Математика и физика

1. (3 балла) Решите уравнение \[ (x - 2)^3 - (x - 3)^2(x + 2) - 2(1 - x)(x + 1) + 18 = 0. \]
2. (3 балла) Три путника решили отправиться из села Антоновка в село Борисово. Первым вышел Иван, а через час вслед за ним отправился Семён. Ещё через час после Семёна в Борисово направился Фёдор. Скорость Семёна на \(2\) км/ч больше скорости Ивана, но на \(3\) км/ч меньше скорости Фёдора. Через сколько часов после выхода Ивана Семён окажется на равном расстоянии от Фёдора и Ивана, если к этому моменту ближе всех к Борисово будет находиться Фёдор, а дальше всех — Иван? Движение всех путников равномерное и прямолинейное.
3. (4 балла) В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) длина боковой стороны составляет \(80\%\) от длины основания, а периметр треугольника равен 13. Проведена биссектриса \(AD\). На стороне \(AC\) выбрана точка \(K\) так, что отрезок \(BK\) перпендикулярен отрезку \(AD\). Найдите длину \(KC\).
4. (5 баллов) График прямой \(y = 1{,}5x - 3\) пересекает ось абсцисс в точке \(A\), а график прямой \(y = -3x + 24\) пересекает ось абсцисс в точке \(C\). \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), где \(B\) — точка пересечения двух данных прямых. При каком значении \(b\) прямая \[ y = kx + b, \] параллельная прямой \(BM\), проходит через точку с координатами \((2{,}5;\,-11)\)?
5. (5 баллов) Найдите наибольший простой делитель числа \[ 13^2\,(13^2 + 1) + 1. \]

Решения задач

1. Решите уравнение \[ (x - 2)^3 - (x - 3)^2(x + 2) - 2(1 - x)(x + 1) + 18 = 0. \] Решение:
   Раскроем скобки и упростим выражение: \[ \begin{aligned} &(x^3 - 6x^2 + 12x -8) - (x^3 -4x^2 +3x -18) \\ &-2(1 -x^2) +18 = 0,\\ &15x -10 = 0,\\ &x = \frac{2}{3}. \end{aligned} \] Ответ: \(\frac{2}{3}\).
   
   
2. Три путника движутся из Антоновки в Борисово с различными скоростями. Найдите время, когда Семён окажется на равном расстоянии от Фёдора и Ивана.
   Решение:
   Пусть скорость Ивана \(v\, \text{км/ч}\), тогда скорость Семёна \((v+2)\), Фёдора \((v+5)\). Рассмотрим момент времени \(t\) часов после выхода Ивана:\ \[ \begin{aligned} &(v+5)(t-2) - (v+2)(t-1) = (v+2)(t-1) - vt,\\ &\Rightarrow t = 6. \end{aligned} \] Условия \(S_F > S_S > S_I\) выполняются при \(v < 10\).
   Ответ: 6 часов.
   
   
3. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) найти длину \(KC\).
   Решение:
   Основание \(AC = 5\), боковые стороны \(AB = BC = 4\). Биссектриса \(AD\) делит \(BC\) в отношении \(4:5\). Координаты точек: \[ \begin{aligned} &A(0,0), C(5,0), B(2{,}5, \frac{\sqrt{39}}{2}), D\left(\frac{32{,}5}{9}, \frac{5\sqrt{39}}{18}\right). \end{aligned} \] Уравнение прямой \(AD: y = \frac{\sqrt{39}}{13}x\). Координата точки \(K(4,0)\) получена из условия перпендикулярности векторов \(BK\) и \(AD\).
   Ответ: \(KC = 1\).
   
   
4. Найти значение \(b\) для прямой \(y = kx + b\).
   Решение:
   Точки пересечения с осью \(Ox\): \(A(2,0)\), \(C(8,0)\). Медиана \(BM\) (\(M(5,0)\)): \[ \begin{aligned} &k_{BM} = 6,\\ &y = 6x + b \text{ проходит через } (2{,}5; -11),\\ &b = -26. \end{aligned} \] Ответ: \(b = -26\).
   
   
5. Найти наибольший простой делитель числа: \[ 13^2(13^2 +1) +1. \] Решение:
   \[ \begin{aligned} &13^2(13^2 +1) +1 = 169 \cdot 170 +1 = 28731,\\ &28731 = 3 \cdot 61 \cdot 157. \end{aligned} \] Наибольший простой делитель: 157.
   Ответ: 157.