Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2024 демо

1. (0,5 балла) Найдите значение выражения \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(6^2)^3}. \]
2. (1 балл) Решите уравнение \[ \frac{x - 3}{2} \;-\;\frac{2x + 1}{3} \;=\;\frac{x - 6}{4}. \]
3. (1 балл) Вычислите: \[ 3\frac{7}{11}\cdot 1{,}375 \;-\;0{,}24:0{,}3. \]
4. (1 балл) Найдите значение выражения \[ (3x + y)(y - 3x)\;-\;(x - y)^2 \] при \(x = 0{,}1\), \(y = 5\).
5. (1 балл) Найдите модуль разности чисел НОК\((36;48)\) и НОД\((36;48)\).
6. (1 балл) Некоторая прямая параллельна прямой \(y = 2x\) и проходит через точку \((0; -3)\). Найдите сумму координат точки пересечения этой прямой с прямой, заданной уравнением \(y = 0{,}5x + 3\).
7. (1 балл) Если от листа бумаги отрезать кусок, площадь которого составляет 20% всего листа, то площадь оставшейся части будет \(108\) см\(^2\). Найдите площадь всего листа.
8. (1 балл) Из города \(A\) в город \(B\), расположенный ниже по течению реки, отправилась лодка. Она прибыла в \(B\) через 3 часа после старта, а после сразу развернулась и отправилась в \(A\), потратив на обратный путь 5 часов. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 3 км/ч.
9. (1 балл) В треугольнике \(ABC\) из угла \(C\) проведены высота \(CH\) и биссектриса \(CC_1\). Найдите угол \(\angle HCC_1\), если углы \(A\) и \(B\) равны \(75^\circ\) и \(35^\circ\) соответственно.
10. (1,5 балла) Оля представила число 161 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, что произведение всех слагаемых оказалось равно 161. Укажите количество слагаемых в составленной Олей сумме.

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(6^2)^3}. \] Решение: Преобразуем выражение: \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(6^2)^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8}{(2^2 \cdot 3^2)^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8}{2^6 \cdot 3^6} = 3^{8-6} = 3^2 = 9. \] Ответ: 9.
2. Решите уравнение: \[ \frac{x - 3}{2} \;-\;\frac{2x + 1}{3} \;=\;\frac{x - 6}{4}. \] Решение: Умножим обе части на 12 (НОК знаменателей): \[ 6(x - 3) - 4(2x + 1) = 3(x - 6), \] \[ 6x - 18 - 8x - 4 = 3x - 18, \] \[ -2x - 22 = 3x - 18, \] \[ -5x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{5} = -0{,}8. \] Ответ: $-0{,}8$.
3. Вычислите: \[ 3\frac{7}{11}\cdot 1{,}375 \;-\;0{,}24:0{,}3. \] Решение: Преобразуем смешанное число и десятичные дроби: \[ 3\frac{7}{11} = \frac{40}{11}, \quad 1{,}375 = \frac{11}{8}, \quad 0{,}24:0{,}3 = 0{,}8. \] \[ \frac{40}{11} \cdot \frac{11}{8} = 5, \quad 5 - 0{,}8 = 4{,}2. \] Ответ: 4,2.
4. Найдите значение выражения: \[ (3x + y)(y - 3x)\;-\;(x - y)^2 \] при \(x = 0{,}1\), \(y = 5\). Решение: Упростим выражение: \[ (3x + y)(y - 3x) - (x^2 - 2xy + y^2) = y^2 - 9x^2 - x^2 + 2xy - y^2 = -10x^2 + 2xy. \] Подставим значения: \[ -10(0{,}1)^2 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 5 = -0{,}1 + 1 = 0{,}9. \] Ответ: 0,9.
5. Найдите модуль разности чисел НОК\((36;48)\) и НОД\((36;48)\). Решение: \[ \text{НОД}(36;48) = 12, \quad \text{НОК}(36;48) = 144. \] \[ |144 - 12| = 132. \] Ответ: 132.
6. Найдите сумму координат точки пересечения прямой \(y = 2x - 3\) с прямой \(y = 0{,}5x + 3\). Решение: Решим систему: \[ 2x - 3 = 0{,}5x + 3 \quad \Rightarrow \quad 1{,}5x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 4. \] \[ y = 0{,}5 \cdot 4 + 3 = 5. \] Сумма координат: \(4 + 5 = 9\). Ответ: 9.
7. Найдите площадь всего листа, если после отрезания 20% осталось 108 см\(^2\). Решение: Пусть \(S\) — площадь листа: \[ 0{,}8S = 108 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{108}{0{,}8} = 135 \text{ см}^2. \] Ответ: 135 см\(^2\).
8. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если время пути по течению 3 ч, против — 5 ч, а скорость течения 3 км/ч. Решение: Пусть \(x\) — скорость лодки: \[ 3(x + 3) = 5(x - 3) \quad \Rightarrow \quad 3x + 9 = 5x - 15 \quad \Rightarrow \quad 2x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 12 \text{ км/ч}. \] Ответ: 12 км/ч.
9. Найдите угол \(\angle HCC_1\), если \(\angle A = 75^\circ\), \(\angle B = 35^\circ\). Решение: Угол \(C = 180^\circ - 75^\circ - 35^\circ = 70^\circ\). Биссектриса делит угол \(C\) на \(35^\circ\). Высота \(CH\) образует угол с \(CB\): \[ \angle HCB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ. \] \[ \angle HCC_1 = 55^\circ - 35^\circ = 20^\circ. \] Ответ: \(20^\circ\).
10. Укажите количество слагаемых в сумме, где 161 представлено как сумма натуральных чисел с произведением 161. Решение: Разложим 161 на простые множители: \(161 = 7 \cdot 23\). Добавим 131 единицу: \[ 7 + 23 + \underbrace{1 + \ldots + 1}_{131} = 161, \quad \text{число слагаемых} = 131 + 2 = 133. \] Ответ: 133.