Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2023 демо Математика и физика

1. (3 балла) Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{x^2}{x^2+xy+y^2} - \bigl(\frac{x}{x-y} - \frac{xy(x+y)}{x^3 - y^3}\bigr)\Bigr) : \frac{x^2y}{x^2 - y^2} + \frac{x+y}{x^2+xy+y^2}. \] Вычислите его значение при \(x = 1{,}5\), \(y = \frac{2}{3}\).
   
   
2. (3 балла) Расстояние между городами 660 км. Из них навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Известно, что скорость первого автомобиля на 10 км/ч меньше скорости второго. Через три часа после начала движения расстояние между автомобилями стало 150 км. Найдите скорость движения первого автомобиля.
   
   
3. (4 балла) В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) является тупым. Продолжения высот \(BB_1\), \(CC_1\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\), причём известно, что угол \(\angle BHC = 60^\circ\). В данном треугольнике проведены биссектрисы \(AF\), \(BK\), \(CN\). Найдите угол \(\angle KFN\).
   
   
4. (5 баллов) При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 4\lvert x - 2\rvert = 2a + 7 \] имеет ровно два различных корня, один из которых в три раза больше другого?
   
   
5. (5 баллов) Числа \(1,2,3,\dots,2022,2023\) записали подряд без запятых. Сколько раз в записи полученного числа встретится цифра «0»?

Решения задач

1. Упростите выражение \[ \left(\frac{x^2}{x^2+xy+y^2} - \left(\frac{x}{x-y} - \frac{xy(x+y)}{x^3 - y^3}\right)\right) : \frac{x^2y}{x^2 - y^2} + \frac{x+y}{x^2+xy+y^2}. \] Вычислите его значение при \(x = 1{,}5\), \(y = \frac{2}{3}\).
   Решение:
   Разложим знаменатели на множители: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2), \quad x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). \] Упростим внутренние дроби: \[ \frac{x}{x - y} - \frac{xy(x + y)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{x(x^2 + xy + y^2) - xy(x + y)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{x^3}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}. \] Подставим обратно в исходное выражение: \[ \frac{x^2}{x^2 + xy + y^2} - \frac{x^3}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{x^2(x - y) - x^3}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} = -\frac{x^2y}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}. \] Разделим на \(\frac{x^2y}{x^2 - y^2}\): \[ -\frac{x^2y}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} \cdot \frac{(x - y)(x + y)}{x^2y} = -\frac{(x + y)}{x^2 + xy + y^2}. \] Добавим последнее слагаемое: \[ -\frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} + \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} = 0. \] При подстановке \(x = \frac{3}{2}\), \(y = \frac{2}{3}\) получим 0.
   Ответ: 0.
2. Расстояние между городами 660 км. Из них навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого на 10 км/ч меньше скорости второго. Через три часа расстояние между ними стало 150 км. Найдите скорость первого автомобиля.
   Решение:
   Пусть скорость первого автомобиля \(v\) км/ч, тогда скорость второго \(v + 10\) км/ч. За 3 часа они проехали: \[ 3(v + v + 10) = 3(2v + 10) = 6v + 30 \ (\text{км}). \] По условию: \[ 660 - (6v + 30) = 150 \ \Rightarrow \ 6v + 30 = 510 \ \Rightarrow \ 6v = 480 \ \Rightarrow \ v = 80. \] Ответ: 80 км/ч.
3. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) тупой. Продолжения высот \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\), \(\angle BHC = 60^\circ\). Биссектрисы \(AF\), \(BK\), \(CN\). Найдите \(\angle KFN\).
   Решение:
   Точка \(H\) — ортоцентр. В четырёхугольнике \(HBAC\) углы при \(H\) равны исходным углам треугольника. Так как \(\angle BHC = 60^\circ\), то \(\angle BAC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Биссектрисы углов \(A\), \(B\), \(C\) пересекаются в инцентре. Точки \(K\), \(F\), \(N\) — точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами. Из свойств биссектрис и равенства треугольников получаем: \[ \angle KFN = 90^\circ - \frac{\angle BAC}{2} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ. \] Ответ: 30.
4. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 4\lvert x - 2\rvert = 2a + 7 \] имеет ровно два различных корня, один из которых в три раза больше другого?
   Решение:
   Уравнение эквивалентно \(\lvert x - 2\rvert = \frac{2a + 7}{4}\). Для существования двух корней необходимо \(\frac{2a +7}{4} > 0 \ \Rightarrow \ a > -\frac{7}{2}\).
   Корни: \(x_1 = 2 + \frac{2a +7}{4}\), \(x_2 = 2 - \frac{2a +7}{4}\). По условию: \[ \begin{cases} x_1 = 3x_2 \\ \text{или} \\ x_2 = 3x_1. \end{cases} \] 1 случай: \(2 + \frac{2a +7}{4} = 3\left(2 - \frac{2a +7}{4}\right)\): \[ 8 +2a +7 = 24 -6a -21 \ \Rightarrow \ 8a = -12 \ \Rightarrow \ a = -\frac{3}{2}. \] 2 случай: \(2 - \frac{2a +7}{4} = 3\left(2 + \frac{2a +7}{4}\right)\): \[ 8 -2a -7 = 24 +6a +21 \ \Rightarrow \ 8a = -44 \ \Rightarrow \ a = -\frac{11}{2}. \] Проверка условия \(a > -\frac{7}{2}\): \(-\frac{3}{2} > -\frac{7}{2}\) верно, \(-\frac{11}{2} < -\frac{7}{2}\) — не подходит.
   Ответ: -3/2.
5. Сколько раз в записи числа из чисел \(1,2,3,\dots,2023\) встретится цифра «0»?
   Решение:
   Рассмотрим числа по разрядам:
   • Однозначные (1-9): Нулей нет.
   • Двузначные (10-99): Ноль в разряде единиц: 10,20,…,90 → 9 нулей.
   • Трёхзначные (100-999):
     • Ноль в десятках: для сотен (1-9), десятков (0), единиц (0-9): 9×1×10 = 90.
     • Ноль в единицах: аналогично 9×10×1 = 90.
     • Ноль в сотнях: невозможно.
     Всего: 180 нулей.
   • Четырёхзначные (1000-2023):
     • Тысячи: число от 1 до 2. Для 1XXX и 2XXX:
     • Для 1000-1999:
       • Сотни: 0 (1-9, сначала 0): 1 вариант → 1×100 чисел.
       • Десятки: аналогично → 1×10 чисел.
       • Единицы: аналогично → 1 число × 0.
       Всего: 3×100 = 300 нулей (в каждом разряде сотни, десятки, единицы).
     • Для 2000-2023:
     • Разбор каждого разряда:
     • Сотни: 0 в числах 2000-2099 → в нашем случае до 2023: 20-23 → сотни всегда 0.
     • Десятки: 0 в 2000-2009 и 2010-2019,…,2020-2023.
     • Единицы: 0 в 2000,2010,2020 → учитывая до 2023: всего 3. Всего: Для 2000-2023: 24 чисел:
     • Сотни: 24 числа × 1 ноль → 24.
     • Десятки: 2000-2009:10 чисел → 10; 2010-2019:10; 2020-2023:4 → итого 24 нуля.
     • Единицы: только третьи ноли в годах 2000,2010,2020 → 3. Всего:24+24+3=51.
     Общие четырехзначные: 300 +51=351.
   Суммируем: 0 (однозначные) +9 (двузначные) +180 (трёхзначные) +351 (четырёхзначные) =540.
   Ответ: 540.