Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2023 демо

1. (0,5 балла) Найдите значение выражения \[ \Bigl(-\tfrac{13}{7}\cdot a^2 b\Bigr)^3\;\cdot\;\Bigl(\tfrac{49\,b}{a^3}\Bigr)^2\;\cdot\;\tfrac{1}{b^5}, \quad\text{при }a=-2{,}07,\;b=-\tfrac{3}{5}. \]
2. (0,5 балла) Решите уравнение \[ \frac{4x}{3} + \frac{2x-3}{9} = \frac{3x}{2} - \frac{x+5}{4}. \]
3. (1 балл) Найдите значение выражения \[ \bigl(-13{,}8 - \tfrac{5}{21} + 3\tfrac{1}{14}\cdot\tfrac{3}{7}\bigr)\,\cdot\,42. \]
4. (1 балл) Когда Александр называет число, он всегда умножает его на 2, 4 или 8, а когда Тимур называет число, он всегда добавляет 5 или вычитает 5. Когда Тимур спросил Александра, сколько у него детей, Александр ответил. Затем Тимур спросил, какое число назвал Александр. Тимур ответил, что 8. Сколько детей у Александра?
5. (1 балл) Найдите сумму чисел НОК(12; 21; 27) и НОД(133; 343).
6. (1 балл) Первое число на 15% больше 25. Второе число на 11% меньше 40. Эти два числа умножили. Сколько процентов полученное в результате умножения число составляет от числа 2047?
7. (1 балл) Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 7 - 2(y - x) = 5x + 3,\\ 3x + 4y = 2 - (4y + 2x). \end{cases} \] В ответ запишите сумму \(x + y\).
8. (1 балл) В треугольнике \(KMP\) с углом \(\angle KMP = 74^\circ\) биссектрисы \(MA\) и \(PB\) пересекаются в точке \(D\). Найдите величину угла \(\angle BDK\).
9. (1 балл) Мама дала Даше деньги и отправила её в магазин за молоком и конфетами. Без сдачи Даша может купить 2 пакета молока и 3 пачки конфет или 4 пакета молока и 2 пачки конфет. Про молоко Даша забыла и купила все деньги только на конфеты. Сколько пачек конфет принесла домой Даша?
10. (2 балла) Найдите все значения параметра \(a\), при которых любое число \(x\) является решением уравнения \[ 24x - 3(4 - x) = 2ax - 12. \]

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \Bigl(-\tfrac{13}{7}\cdot a^2 b\Bigr)^3\;\cdot\;\Bigl(\tfrac{49\,b}{a^3}\Bigr)^2\;\cdot\;\tfrac{1}{b^5}, \quad\text{при }a=-2{,}07,\;b=-\tfrac{3}{5}. \] Решение: Сначала упростим выражение: \[ \left(-\frac{13}{7}a^2b\right)^3 \cdot \left(\frac{49b}{a^3}\right)^2 \cdot \frac{1}{b^5} = -\frac{13^3}{7^3}a^6b^3 \cdot \frac{49^2b^2}{a^6} \cdot \frac{1}{b^5} \] Сократим множители: \[ -\frac{13^3}{7^3} \cdot \frac{7^4}{1} \cdot \frac{b^5}{b^5} = -13^3 \cdot 7 = -2197 \cdot 7 = -15379 \] Значение не зависит от \(a\) и \(b\).
   Ответ: \(-15379\).
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{4x}{3} + \frac{2x-3}{9} = \frac{3x}{2} - \frac{x+5}{4}. \] Решение: Умножим обе части на 36 (НОК знаменателей 9, 4): \[ 36 \cdot \frac{4x}{3} + 36 \cdot \frac{2x-3}{9} = 36 \cdot \frac{3x}{2} - 36 \cdot \frac{x+5}{4} \] Раскрываем: \[ 48x + 4(2x - 3) = 54x - 9(x + 5) \] \[ 48x + 8x - 12 = 54x - 9x - 45 \\ 56x - 12 = 45x - 45 \\ 11x = -33 \\ x = -3 \] Ответ: \(-3\).
   
   
3. Найдите значение выражения \[ \bigl(-13{,}8 - \tfrac{5}{21} + 3\tfrac{1}{14}\cdot\tfrac{3}{7}\bigr)\,\cdot\,42. \] Решение: Переведём смешанное число в дробь: \[ 3\tfrac{1}{14} = \frac{43}{14} \] Вычислим поэтапно: \[ \left(-13{,}8 - \frac{5}{21} + \frac{43}{14} \cdot \frac{3}{7}\right) \cdot 42 \] \[ \left(-13{,}8 - \frac{5}{21} + \frac{129}{98}\right) \cdot 42 = \left(-13{,}8 + \frac{-5 \cdot 98 + 129 \cdot 21}{2058}\right) \cdot 42 \] Упростим умножением на 42: \[ -13{,}8 \cdot 42 - 5 \cdot 2 + 129 \cdot 3 = -580,8 - 10 + 387 = -203,8 \] Ответ: \(-203,8\).
   
   
4. Сколько детей у Александра, если Тимур получил число 8?
   Решение: Пусть исходное число детей \(n\). Александр умножил его на 2,4 или 8: варианты \(2n\), \(4n\), \(8n\). Тимур преобразовал результат: прибавил или вычёл 5. Возможные уравнения: \[ 2n \pm 5 = 8,\quad 4n \pm 5 = 8,\quad 8n \pm 5 = 8 \] Решим для возможных целых \(n\): \[ 8n -5 =8 \implies 8n=13 \text{ (не целое)} \\ 4n -5 =8 \implies 4n=13 \text{ (не целое)} \\ 2n -5 =8 \implies 2n=13 \text{ (не целое)} \\ 2n +5=8 \implies n=1{,}5 \text{ (не подходит)} \\ 4n +5=8 \implies n=0{,}75 \text{ (не подходит)} \\ 8n+5=8 \implies 8n=3 \implies n=0{,}375 \text{ (не подходит)} \] Возможное решение: ответ предполагает целое число детей. Значит, ошибка в условии или подразумевается \(n=2\): \(2 \cdot 8 -5 = 11\) не подходит. Возможно, пропущены условия. Предположим ребёнок — целое число, методом подбора корректного ответа нет. Возможная ошибка в решении.
   
   Ответ: Решение не найдено при целых n. Возможно, ошибка в условии.
   
   
5. Найдите сумму НОК(12; 21; 27) и НОД(133; 343).
   Решение: Разложим на множители: \[ 12=2^2 \cdot 3,\quad 21=3 \cdot 7,\quad 27=3^3 \implies \text{НОК} = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7=756 \] \[ 133=7 \cdot 19,\quad 343=7^3 \implies \text{НОД}=7 \] Сумма: \(756 + 7 = 763\).
   Ответ: \(763\).
   
   
6. Сколько процентов составляет произведение от 2047?
   Решение: Первое число: \(25 \cdot 1{,}15 =28{,}75\). Второе число: \(40 \cdot 0{,}89=35{,}6\). Произведение: \(28{,}75 \times 35{,}6 = 1025{,}5\). Процент: \(\frac{1025{,}5}{2047} \times 100% \approx 50\%\).
   Ответ: \(50\%\).
   
   
7. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 7 - 2(y - x) = 5x + 3,\\ 3x + 4y = 2 - (4y + 2x). \end{cases} \] Решение: Упростим первое уравнение: \[ 7 -2y +2x =5x +3 \implies -3x -2y = -4 \implies 3x+2y=4 \] Второе уравнение: \[ 3x +4y =2 -4y -2x \implies 5x +8y=2 \] Решаем систему: \[ \begin{cases} 3x +2y =4,\\ 5x +8y=2. \end{cases} \] Умножим первое уравнение на 4: \[ 12x +8y=16 \implies \text{вычитаем из второго: } (5x +8y) - (12x +8y) =2 -16 \implies -7x =-14 \implies x=2 \] Подставляем в первое уравнение: \(3\cdot2 +2y =4 \implies y=-1\). Сумма \(2 + (-1)=1\).
   Ответ: \(1\).
   
   
8. Найдите угол \(\angle BDK\) в треугольнике \(KMP\).
   Решение: Пусть угол \(\angle KMP=74^\circ\). Биссектрисы делят углы пополам. Рассмотрим треугольник \(KMP\), сумма углов \(180^\circ\). Углы при биссектрисах вычисляются как половины. По свойствам пересечения биссектрис, угол \(BDK\) составляет \(90^\circ + \frac{74^\circ}{2} = 127^\circ\).
   Ответ: \(127^\circ\).
   
   
9. Сколько пачек конфет купила Даша?
   Решение: Пусть цена молока \(m\), конфет \(k\), сумма \(S\). Система: \[ \begin{cases} 2m +3k =S,\\ 4m +2k =S. \end{cases} \] Вычтем уравнения: \(2m -k=0 \implies k=2m\). Подставим в первое уравнение: \(2m +6m=S \implies S=8m\). Тогда на конфеты: \(\frac{S}{k}= \frac{8m}{2m}=4\) пачки.
   Ответ: \(4\).
   
   
10. Найдите параметр \(a\) при котором уравнение \(24x - 3(4 - x) = 2ax - 12\) верно для любого \(x\).
    Решение: Упростим уравнение: \[ 24x -12 +3x =2ax -12 \implies 27x =2ax \] Для любого \(x\): \(27=2a \implies a=13{,}5\).
    Ответ: \(13{,}5\).