лицей ниу вшэ из 7 в 8 класс 2009 год вариант 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2009 год

Вариант 2009-I-1

1. Упростить выражение: $\left(\frac{3-a}{9+3 a}-\frac{1}{9-a^{2}} \times \frac{(a-3)^{2}}{3+a}\right): \frac{3-a}{9+3 a}$
2. Найти все неотрицательные корни уравнения: $2 x^{2}-2 x=0$
3. Построить графики функций $y=|x|-2$ и $y=1$ и найти координаты точек, в которых эти графики пересекаются.
4. Черепаха проплыла 8 км по течению реки в одном направлении и затем вернулась обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Из-за низкого спроса на некоторый товар его цена снизилась на $20 \%$, однако через некоторое время она увеличилась на $25 \%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
6. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
7. Известно, что $x^{2}+y^{2}=37$, а $x y=6$. Какие натуральные значения могут принимать $x$ и $y$? Обоснуйте ответ.

Решения задач

1. Упростить выражение: $\left(\frac{3-a}{9+3a} - \frac{1}{9-a^{2}} \times \frac{(a-3)^{2}}{3+a}\right) : \frac{3-a}{9+3a}$
   Решение:
   Упростим выражение по частям:
   $\frac{3-a}{9+3a} = \frac{-(a-3)}{3(a+3)} = -\frac{a-3}{3(a+3)}$
   
   Второе слагаемое:
   $\frac{1}{(3-a)(3+a)} \cdot \frac{(a-3)^2}{3+a} = \frac{(a-3)^2}{(3-a)(3+a)^2} = -\frac{(a-3)}{(3+a)^2}$
   
   Теперь объединим:
   $\left(-\frac{a-3}{3(a+3)} + \frac{a-3}{(3+a)^2}\right) : \frac{3-a}{3(a+3)} = \frac{a-3}{3+a}\left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{3+a}\right) \cdot \frac{3(a+3)}{3-a} = \frac{a-3}{3+a} \cdot \frac{-(3+a) + 3}{3(3+a)} \cdot \frac{3(a+3)}{3-a} = \frac{a-3}{3+a} \cdot \frac{-a}{3(3+a)} \cdot \frac{3(a+3)}{3-a} = \frac{a(a-3)}{(3+a)(3-a)} = \frac{-a(a-3)}{(a+3)(a-3)} = -\frac{a}{a+3}$
   
   После сокращений получаем:
   $\frac{a+3}{1} = a+3$
   Ответ: $a+3$.
   
   
2. Найти все неотрицательные корни уравнения: $2x^{2} - 2x = 0$
   Решение:
   $2x(x - 1) = 0$
   Корни: $x = 0$ и $x = 1$
   Оба корня неотрицательны.
   Ответ: 0; 1.
   
   
3. Построить графики функций $y = |x| - 2$ и $y = 1$ и найти координаты точек пересечения.
   Решение:
   Уравнение для точек пересечения: $|x| - 2 = 1$
   $|x| = 3 \Rightarrow x = \pm3$
   Координаты точек: $(-3; 1)$ и $(3; 1)$
   Ответ: $(\pm3; 1)$.
   
   
4. Черепаха проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, затратив 3 часа. Собственная скорость черепахи, если скорость течения 2 км/ч.
   Решение:
   Пусть собственная скорость черепахи $x$ км/ч. Тогда:
   $\frac{8}{x+2} + \frac{8}{x-2} = 3$
   Умножим на $(x+2)(x-2)$:
   $8(x-2) + 8(x+2) = 3(x^2 - 4)$
   $16x = 3x^2 - 12$
   $3x^2 - 16x - 12 = 0$
   $D = 256 + 144 = 400$
   $x = \frac{16 \pm 20}{6} \Rightarrow x = 6$ (отрицательный корень не подходит)
   Ответ: 6.
   
   
5. Изменение цены товара: снижение на 20\%, затем увеличение на 25\%.
   Решение:
   Пусть начальная цена $P$. После снижения: $0,8P$. После повышения: $0,8P \cdot 1,25 = P$.
   Изменение: $P - P = 0$.
   Ответ: 0.
   
   
6. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из сторон. Углы между диагоналями.
   Решение:
   Пусть сторона $a$, диагональ $2a$. По теореме Пифагора:
   $(2a)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b = a\sqrt{3}$
   Диагонали равны $2a$, образуют ромб с углами $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.
   Ответ: $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.
   
   
7. Натуральные значения $x$ и $y$ при $x^2 + y^2 = 37$ и $xy = 6$.
   Решение:
   Из $xy = 6$: $y = \frac{6}{x}$. Подставим в первое уравнение:
   $x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 37 \Rightarrow x^4 - 37x^2 + 36 = 0$
   Решаем как квадратное относительно $z = x^2$:
   $z^2 - 37z + 36 = 0 \Rightarrow z = 1$ или $z = 36$
   Тогда $x = \pm1$, $y = \pm6$ или $x = \pm6$, $y = \pm1$. Натуральные решения: $(1;6)$ и $(6;1)$.
   Ответ: $(\pm1; \pm6)$; $(\pm6; \mp1)$.