лицей ниу вшэ из 7 в 8 класс 2009 год

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2009 год

Вариант 2009-I-2

1. Упростить выражение: $\left(\frac{a-4}{a^{2}+4 a}-\frac{4}{a^{3}-16 a} \times \frac{(4-a)^{2}}{a+4}\right): \frac{a-4}{a^{2}+4 a}$
2. Найти все неположительные корни уравнения: $3 x^{2}+6 x=0$
3. Построить графики функций $y=|x|+2$ и $y=4$ и найти координаты точек, в которых эти графики пересекаются.
4. Черепаха проплыла 6 км по течению реки в одном направлении и затем приплыла обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Из-за высокого спроса на некоторый товар его цена увеличилась на $25 \%$, однако через некоторое время она снизилась на $20 \%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
6. Диагонали ромба равны $a$ и $a \sqrt{3}$. Найдите углы ромба.
7. Известно, что $a b=7$, а $a^{2}+b^{2}=50$. Какие натуральные значения могут принимать $a$ и $b$? Обоснуйте ответ.

Решения задач

1. Упростить выражение: $\left(\frac{a-4}{a^{2}+4 a}-\frac{4}{a^{3}-16 a} \times \frac{(4-a)^{2}}{a+4}\right): \frac{a-4}{a^{2}+4 a}$
   Решение:
   
   Упростим выражение по частям:
   
   
   1. Разложим знаменатели на множители:
   $a^2 + 4a = a(a + 4)$
   $a^3 - 16a = a(a^2 - 16) = a(a - 4)(a + 4)$
   
   2. Преобразуем второе слагаемое в скобках:
   $\frac{4}{a(a - 4)(a + 4)} \cdot \frac{(4 - a)^2}{a + 4} = \frac{4(a - 4)^2}{a(a - 4)(a + 4)^2} = \frac{4(a - 4)}{a(a + 4)^2}$
   
   3. Подставим в исходное выражение:
   $\left(\frac{a - 4}{a(a + 4)} - \frac{4(a - 4)}{a(a + 4)^2}\right) : \frac{a - 4}{a(a + 4)}$
   
   4. Вынесем общий множитель в числителе:
   $\frac{(a - 4)(a + 4) - 4(a - 4)}{a(a + 4)^2} : \frac{a - 4}{a(a + 4)} = \frac{(a - 4)(a)}{a(a + 4)^2} \cdot \frac{a(a + 4)}{a - 4} = 1$
   
   
   Ответ: 1.
   
   
2. Найти все неположительные корни уравнения: $3 x^{2}+6 x=0$
   Решение:
   $3x^2 + 6x = 0$
   $3x(x + 2) = 0$
   Корни: $x = 0$ и $x = -2$
   Неположительные корни: $x = 0$ и $x = -2$
   Ответ: $0$; $-2$.
   
   
3. Построить графики функций $y=|x|+2$ и $y=4$ и найти координаты точек, в которых эти графики пересекаются.
   Решение:
   Уравнение пересечения: $|x| + 2 = 4$
   $|x| = 2 \Rightarrow x = 2$ или $x = -2$
   Точки пересечения: $(-2; 4)$ и $(2; 4)$
   Ответ: $(-2; 4)$, $(2; 4)$.
   
   
4. Черепаха проплыла 6 км по течению реки в одном направлении и затем приплыла обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
   Решение:
   Пусть собственная скорость черепахи $v$ км/ч. Тогда:
   Время по течению: $\frac{6}{v + 2}$ ч
   Время против течения: $\frac{6}{v - 2}$ ч
   Уравнение: $\frac{6}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 4$
   $\frac{6(v - 2) + 6(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 4$
   $\frac{12v}{v^2 - 4} = 4 \Rightarrow 12v = 4v^2 - 16 \Rightarrow 4v^2 - 12v - 16 = 0$
   $v^2 - 3v - 4 = 0 \Rightarrow v = 4$ (отрицательный корень не подходит)
   Ответ: 4 км/ч.
   
   
5. Из-за высокого спроса на некоторый товар его цена увеличилась на $25 \%$, однако через некоторое время она снизилась на $20 \%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
   
   Решение:
   Пусть исходная цена $P$. После повышения: $1,25P$
   После понижения: $1,25P \cdot 0,8 = P$
   Изменение: $P - P = 0$
   Ответ: цена не изменилась (0\%).
   
   
6. Диагонали ромба равны $a$ и $a \sqrt{3}$. Найдите углы ромба.
   Решение:
   Половины диагоналей: $\frac{a}{2}$ и $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
   Сторона ромба: $\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}\sqrt{1 + 3} = a$
   Тангенс угла: $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$
   Смежный угол: $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$
   Ответ: $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.
   
   
7. Известно, что $a b=7$, а $a^{2}+b^{2}=50$. Какие натуральные значения могут принимать $a$ и $b$? Обоснуйте ответ.
   Решение:
   Из $ab = 7$ следует $b = \frac{7}{a}$. Подставим во второе уравнение:
   $a^2 + \left(\frac{7}{a}\right)^2 = 50 \Rightarrow a^4 - 50a^2 + 49 = 0$
   Замена $t = a^2$: $t^2 - 50t + 49 = 0 \Rightarrow t = 49$ или $t = 1$
   Натуральные решения: $a = 7$, $b = 1$ или $a = 1$, $b = 7$
   Проверка: $7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50$
   Ответ: $(7; 1)$ и $(1; 7)$.