лицей ниу вшэ из 7 в 8 класс 2005 год вариант 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2005 год

Вариант ФМШ2005-I-1

1. Упростите выражение: $\left(\frac{4 a b}{16 a^{2}+8 a b+b^{2}}+\frac{3 a}{4 a+b}\right) \cdot\left(4+\frac{b}{a}\right)^{2}$.
2. Решить уравнение: $\frac{6}{x}+\frac{6}{x+1}=5$.
3. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}+3 x-28}{x+7} \leq-5 \\ x+7>-1\end{array}\right.$.
4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 14 см больше другого, а гипотенуза равна 26 см. Найдите катеты треугольника.
5. Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку, объём которой 1000 см $^{3} .$ Найти размеры листа жести.
6. Докажите, что сумма двух последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $6 .$
7. Построить график функции: $y=\left|x^{2}-7 x-8\right|+1$.
8. Путь от посёлка до станции идёт сначала в гору, а потом под гору, при этом длина всей дороги равна 9 км. Пешеход на подъёме идёт со скоростью, на 3 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от посёлка до станции занимает у него 2 ч, а обратный путь - 2 ч 30 мин. Определите длину подъёма со стороны посёлка и скорость пешехода на подъёме и на спуске.

Решения задач

1. Упростите выражение: $\left(\frac{4 a b}{16 a^{2}+8 a b+b^{2}}+\frac{3 a}{4 a+b}\right) \cdot\left(4+\frac{b}{a}\right)^{2}$.
   Решение:
   Разложим знаменатель первой дроби:
   $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a + b)^2$
   Преобразуем выражение:
   $\left(\frac{4ab}{(4a + b)^2} + \frac{3a}{4a + b}\right) \cdot \left(\frac{4a + b}{a}\right)^2 = \left(\frac{4ab + 3a(4a + b)}{(4a + b)^2}\right) \cdot \frac{(4a + b)^2}{a^2} = \frac{12a^2 + 7ab}{a^2} = 12 + \frac{7b}{a}$
   Ответ: $12 + \frac{7b}{a}$.
   
   
2. Решить уравнение: $\frac{6}{x}+\frac{6}{x+1}=5$.
   Решение:
   Умножим обе части на $x(x+1)$:
   $6(x+1) + 6x = 5x(x+1)$
   $6x + 6 + 6x = 5x^2 + 5x$
   $5x^2 - 7x - 6 = 0$
   $D = 49 + 120 = 169 = 13^2$
   $x = \frac{7 \pm 13}{10} \Rightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = -0,6$
   Проверка корней не выявляет посторонних решений.
   Ответ: $2; -0,6$.
   
   
3. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}+3 x-28}{x+7} \leq-5 \\ x+7>-1\end{array}\right.$.
   Решение:
   Упростим первое неравенство:
   $\frac{(x+7)(x-4)}{x+7} \leq -5 \Rightarrow x-4 \leq -5$ при $x \neq -7$
   $x \leq -1$ с учётом области определения $x \neq -7$
   Второе неравенство: $x > -8$
   Пересечение решений: $-8 < x < -7$ и $-7 < x \leq -1$
   Ответ: $x \in (-8; -7) \cup (-7; -1]$.
   
   
4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 14 см больше другого, а гипотенуза равна 26 см. Найдите катеты треугольника.
   Решение:
   Пусть меньший катет $x$, тогда больший $x+14$:
   $x^2 + (x+14)^2 = 26^2$
   $2x^2 + 28x + 196 = 676 \Rightarrow x^2 + 14x - 240 = 0$
   $D = 196 + 960 = 1156 = 34^2$
   $x = \frac{-14 \pm 34}{2} \Rightarrow x = 10$ (отрицательный корень отбрасываем)
   Ответ: 10 см и 24 см.
   
   
5. Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку, объём которой 1000 см $^{3}$. Найти размеры листа жести.
   Решение:
   Пусть ширина листа $x$, тогда длина $x+10$:
   После вырезки размеры дна коробки: $(x-10) \times (x+10-10) = (x-10) \times x$
   Объём: $5(x-10)x = 1000 \Rightarrow x^2 - 10x - 200 = 0$
   $D = 100 + 800 = 900 = 30^2$
   $x = \frac{10 \pm 30}{2} \Rightarrow x = 20$ (отрицательный корень отбрасываем)
   Ответ: 20 см × 30 см.
   
   
6. Докажите, что сумма двух последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $6$.
   Решение:
   $2^n + 2^{n+1} = 2^n(1 + 2) = 3 \cdot 2^n$
   Так как $2^n$ всегда чётно, произведение $3 \cdot 2^n$ делится на $6$.
   Ответ: Доказано.
   
   
7. Построить график функции: $y=\left|x^{2}-7 x-8\right|+1$.
   Решение:
   1. Строим параболу $y = x^2 - 7x - 8$ с корнями $x = -1$ и $x = 8$, вершина в $(3.5; -20.25)$
   2. Отражаем часть параболы ниже оси OX вверх: $y = |x^2 - 7x - 8|$
   3. Сдвигаем график на 1 вверх: $y = |x^2 - 7x - 8| + 1$
   Ответ: График построен.
   
   
8. Путь от посёлка до станции идёт сначала в гору, а потом под гору, при этом длина всей дороги равна 9 км. Пешеход на подъёме идёт со скоростью, на 3 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от посёлка до станции занимает у него 2 ч, а обратный путь - 2 ч 30 мин. Определите длину подъёма со стороны посёлка и скорость пешехода на подъёме и на спуске.
   Решение:
   Пусть длина подъёма $x$ км, скорость на подъёме $v$ км/ч, тогда скорость на спуске $v+3$ км/ч:
   В прямом направлении: $\frac{x}{v} + \frac{9-x}{v+3} = 2$
   В обратном направлении: $\frac{9-x}{v} + \frac{x}{v+3} = 2.5$
   Решая систему уравнений, получаем:
   $v = 3$ км/ч (подъём), $v+3 = 6$ км/ч (спуск)
   $x = 3$ км
   Ответ: длина подъёма 3 км, скорости 3 км/ч и 6 км/ч.