Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2022 год
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
Вторая часть комплексного теста
Задания по УГЛУБЛЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ 2022 ДЕМО
для направления «Экономика и математика»
Дополнительный набор 2022 (11 класс) ДЕМО
Выполните задания (20 баллов).
Вторая часть комплексного теста
Задания по УГЛУБЛЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ 2022 ДЕМО
для направления «Экономика и математика»
Дополнительный набор 2022 (11 класс) ДЕМО
Выполните задания (20 баллов).
- Решите уравнение
\[
\biggl(\frac{x-3}{x+1}\biggr)^{2}
\;-\;2\cdot\frac{x-3}{x^2+x}
\;-\;\frac{3}{x^2}
=0.
\]
ИЛИ
решите уравнение \[ \sqrt{x^2+3x-4}=2x-2. \] ИЛИ
решите неравенство \[ |x-2|+2|x+1|=9. \] ИЛИ
решите неравенство \[ \sqrt{x^2-2x-3}\le x+1. \]
- Найдите \(\cos\bigl(x+\tfrac\pi3\bigr)\), если \(\sin x=-\tfrac35\) и \(\tg x>0\).
ИЛИ
найдите \(\ctg2x\), если \[ \sin\bigl(x-\tfrac\pi2\bigr)=-\tfrac23,\quad \tfrac{2\pi}3 < x < 2\pi. \]
ИЛИ
Вычислите \(\sin255^\circ\). ИЛИ
упростите выражение \[ \cos^2\Bigl(\tfrac\pi2 - x\Bigr) \;-\;\sin\Bigl(\tfrac{2\pi}3 - x\Bigr)\cdot\sin\Bigl(x-\tfrac\pi3\Bigr). \]
- Решите уравнение
\[
3\cos2x - 6\sin x - 2 = 0.
\]
ИЛИ
решите уравнение \[ \sqrt3\sin2x - \cos2x = \sqrt3. \] ИЛИ
решите уравнение \[ 5\sin^2x + \sin x\cos x - \cos2x = 2. \]
- В каких точках графика функции
\[
f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-x+1
\]
касательные параллельны прямой \(y=2x-1\)?
ИЛИ
найдите угол, который образует касательная к графику \[ y=4x^3-3x^2-7\sin\frac\pi7 \] в точке с абсциссой \(x_0=2\) с положительным направлением оси \(OX\). ИЛИ
найдите промежутки возрастания и убывания функции \(f(x)=x^3-4x^2+2\). ИЛИ
найдите точки экстремума функции \(f(x)=x^3-5x^2+7x-5\).
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
\[
f(x)=\frac{\sin2x}{\sin\bigl(x+\tfrac\pi4\bigr)}
\]
на отрезке \(\bigl[0;\tfrac\pi2\bigr]\).
ИЛИ
к графику функции \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) проведена касательная в точке \(a\in\bigl[\tfrac17;\tfrac15\bigr]\). Найдите все значения \(a\), при которых площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью \(OX\) и прямой \(x=1\), минимальна. ИЛИ
найдите все значения параметра \(a\), при которых функция \[ f(x)=(a^2-3a+2)\Bigl(\cos^2\tfrac{x}{4}-\sin^2\tfrac{x}{4}\Bigr)+(a-1)x \] не имеет критических точек. ИЛИ
найдите все значения \(a\), при которых касательные, проведённые из точки \(A(2;3)\) к графику \(f(x)=ax^2\), пересекаются под прямым углом.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
Вторая часть комплексного теста
Задания по УГЛУБЛЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ 2022 ДЕМО
для направления «Экономика и математика»
Дополнительный набор 2022 (11 класс) ДЕМО
Выполните задания (20 баллов).
Вторая часть комплексного теста
Задания по УГЛУБЛЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ 2022 ДЕМО
для направления «Экономика и математика»
Дополнительный набор 2022 (11 класс) ДЕМО
Выполните задания (20 баллов).
- Решите уравнение
\[
\biggl(\frac{x-3}{x+1}\biggr)^{2}
\;-\;2\cdot\frac{x-3}{x^2+x}
\;-\;\frac{3}{x^2}
=0.
\]
ИЛИ
решите уравнение \[ \sqrt{x^2+3x-4}=2x-2. \] ИЛИ
решите неравенство \[ |x-2|+2|x+1|=9. \] ИЛИ
решите неравенство \[ \sqrt{x^2-2x-3}\le x+1. \]
- Найдите \(\cos\bigl(x+\tfrac\pi3\bigr)\), если \(\sin x=-\tfrac35\) и \(\tg x>0\).
ИЛИ
найдите \(\ctg2x\), если \[ \sin\bigl(x-\tfrac\pi2\bigr)=-\tfrac23,\quad \tfrac{2\pi}3 < x < 2\pi. \]
ИЛИ
Вычислите \(\sin255^\circ\). ИЛИ
упростите выражение \[ \cos^2\Bigl(\tfrac\pi2 - x\Bigr) \;-\;\sin\Bigl(\tfrac{2\pi}3 - x\Bigr)\cdot\sin\Bigl(x-\tfrac\pi3\Bigr). \]
- Решите уравнение
\[
3\cos2x - 6\sin x - 2 = 0.
\]
ИЛИ
решите уравнение \[ \sqrt3\sin2x - \cos2x = \sqrt3. \] ИЛИ
решите уравнение \[ 5\sin^2x + \sin x\cos x - \cos2x = 2. \]
- В каких точках графика функции
\[
f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-x+1
\]
касательные параллельны прямой \(y=2x-1\)?
ИЛИ
найдите угол, который образует касательная к графику \[ y=4x^3-3x^2-7\sin\frac\pi7 \] в точке с абсциссой \(x_0=2\) с положительным направлением оси \(OX\). ИЛИ
найдите промежутки возрастания и убывания функции \(f(x)=x^3-4x^2+2\). ИЛИ
найдите точки экстремума функции \(f(x)=x^3-5x^2+7x-5\).
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
\[
f(x)=\frac{\sin2x}{\sin\bigl(x+\tfrac\pi4\bigr)}
\]
на отрезке \(\bigl[0;\tfrac\pi2\bigr]\).
ИЛИ
к графику функции \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) проведена касательная в точке \(a\in\bigl[\tfrac17;\tfrac15\bigr]\). Найдите все значения \(a\), при которых площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью \(OX\) и прямой \(x=1\), минимальна. ИЛИ
найдите все значения параметра \(a\), при которых функция \[ f(x)=(a^2-3a+2)\Bigl(\cos^2\tfrac{x}{4}-\sin^2\tfrac{x}{4}\Bigr)+(a-1)x \] не имеет критических точек. ИЛИ
найдите все значения \(a\), при которых касательные, проведённые из точки \(A(2;3)\) к графику \(f(x)=ax^2\), пересекаются под прямым углом.
Материалы школы Юайти