Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2022 год

1. Найдите $\sin2x$, если $\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $x\in\bigl(0;\tfrac\pi2\bigr)$.
2. Совокупный доход семьи из трёх человек в феврале 2022 года составил 150000 руб. Известно, что 36000 руб. было потрачено на продукты питания, 15% — на оплату коммунальных услуг, 10% было отложено на счёт в банке, остальное составили прочие расходы. Сколько рублей составили прочие расходы в феврале 2022 года?
3. Найдите наименьший положительный корень уравнения \[ \cos^2\!\Bigl(\frac{\pi x}{3}\Bigr) = \frac34. \]
4. В верном равенстве заменили все цифры буквами (одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными). Получилось: \[ \text{АЙ} + \text{АИ} + \text{АЙ} = \text{ЛАЙ}. \] Восстановите исходное равенство. В ответе укажите число, заменённое на «ЛАЙ».
5. В равнобедренную трапецию с боковой стороной 10 можно вписать окружность радиуса 3. Найдите площадь этой трапеции.
6. Папа выписал в ряд числа так, что получилась арифметическая прогрессия. Известно, что сумма 5-го, 9-го, 20-го и 24-го членов равна 40. Найдите сумму первых 28 членов этой прогрессии.
7. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 1} \;+\;\sqrt{20 - x^2}. \]
8. Вычислите $\sin10^\circ\cdot\sin50^\circ\cdot\sin70^\circ$.
9. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=6$ и $BC=8$, а длина медианы $BM$ равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC$.
10. Найдите наибольшее значение $a$, при котором уравнение \[ (a+2)x \;+\; 2a\sqrt{x} \;+\; 1 = 0 \] имеет ровно один корень.

Решения задач

1. Найдите $\sin2x$, если $\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $x\in\bigl(0;\tfrac\pi2\bigr)$.
   Решение: \[ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] \[ \sin2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \] Ответ: $\frac{3}{5}$.
2. Совокупный доход семьи из трёх человек в феврале 2022 года составил 150000 руб. Известно, что 36000 руб. было потрачено на продукты питания, 15% — на оплату коммунальных услуг, 10% было отложено на счёт в банке, остальное составили прочие расходы. Сколько рублей составили прочие расходы в феврале 2022 года?
   Решение: \[ 15% \text{ от } 150000 = 150000 \cdot 0.15 = 22500 \text{ руб.} \] \[ 10% \text{ от } 150000 = 150000 \cdot 0.10 = 15000 \text{ руб.} \] \[ 36000 + 22500 + 15000 = 73500 \text{ руб.} \] \[ 150000 - 73500 = 76500 \text{ руб.} \] Ответ: 76500.
3. Найдите наименьший положительный корень уравнения \[ \cos^2\!\Bigl(\frac{\pi x}{3}\Bigr) = \frac34. \]
   Решение: \[ \cos\!\Bigl(\frac{\pi x}{3}\Bigr) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = \frac{1}{2} + 3k \] \[ \frac{\pi x}{3} = \frac{5\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = \frac{5}{2} + 3k \] Наименьший положительный корень: $\frac{1}{2}$. Ответ: $0.5$.
4. В верном равенстве заменили все цифры буквами (одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными). Получилось: \[ \text{АЙ} + \text{АИ} + \text{АЙ} = \text{ЛАЙ}. \] Восстановите исходное равенство. В ответе укажите число, заменённое на «ЛАЙ».
   Решение: Пусть $\text{АЙ} = 50$, $\text{АИ} = 50$. Тогда: \[ 50 + 50 + 50 = 150 \Rightarrow \text{ЛАЙ} = 150 \] Ответ: 150.
5. В равнобедренную трапецию с боковой стороной 10 можно вписать окружность радиуса 3. Найдите площадь этой трапеции.
   Решение: \[ \text{Полупериметр} = 2 \cdot 10 = 20 \quad \text{(так как основания равны сумме боковых сторон)} \] \[ S = r \cdot \text{полупериметр} = 3 \cdot 20 = 60 \] Ответ: 60.
6. Папа выписал в ряд числа так, что получилась арифметическая прогрессия. Известно, что сумма 5-го, 9-го, 20-го и 24-го членов равна 40. Найдите сумму первых 28 членов этой прогрессии.
   Решение: \[ a_5 + a_9 + a_{20} + a_{24} = 4a_1 + 54d = 40 \] \[ S_{28} = \frac{28}{2} \cdot (2a_1 + 27d) = 14 \cdot \left(\frac{40}{2}\right) = 14 \cdot 20 = 280 \] Ответ: 280.
7. Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 1} \;+\;\sqrt{20 - x^2}. \]
   Решение: \[ x \in [-4.472; -2.618] \cup [-0.382; 4.472] \] Целые числа: $-4, -3, 0, 1, 2, 3, 4$. Сумма: $-4 + (-3) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 3$. Ответ: 3.
8. Вычислите $\sin10^\circ\;\sin50^\circ\;\sin70^\circ$.
   Решение: Формула произведения: \[ \sin10^\circ\;\sin50^\circ\;\sin70^\circ = \frac{1}{8} \] Ответ: $\frac{1}{8}$.
9. Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=6$ и $BC=8$, а длина медианы $BM$ равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC$.
   Решение: По формуле медианы: \[ BM^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4} \Rightarrow AC = 10 \] Треугольник прямоугольный ($6^2 + 8^2 = 10^2$), площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \] Ответ: 24.
10. Найдите наибольшее значение $a$, при котором уравнение \[ (a+2)x \;+\; 2a\sqrt{x} \;+\; 1 = 0 \] имеет ровно один корень.
    Решение: Замена $t = \sqrt{x}$, тогда: \[ (a+2)t^2 + 2at + 1 = 0 \] Условие единственного корня: Дискриминант равен нулю при $a = -1$, что даёт корень $t=1$. Ответ: $-1$.