Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2021 год

1. Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольно вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных?
2. В школе 2000 учеников. В году 366 дней. Доказать, что найдутся не менее шести учеников с совпадающим днём рождения.
3. В тренажёрном зале занимаются \(n\) человек, некоторые из которых знакомы между собой. Докажите, что существуют хотя бы два человека с одинаковым числом знакомств.
4. Пять точек находятся внутри равностороннего треугольника со стороной 1. Докажите, что существуют хотя бы две точки из пяти данных, расстояние между которыми меньше 0,5.
5. В правильном шестиугольнике каждая вершина соединяется с остальными пятью вершинами красным или синим отрезком. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого одного цвета.
6. В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1.
7. В квадрате площади 5 расположено 9 многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше \(\tfrac19\).
8. В классе 33 ученика, всем вместе им 430 лет. Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше 260 лет.
9. Имеется 19 гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, …, 19 г. Девять из них железные, девять бронзовые и одна золотая. Известно, что вес золотой гири больше веса всех железных гирек на 90 г. Найдите вес золотой гирьки.
10. Каждая точка плоскости, имеющая целочисленные координаты, раскрашена в один из цветов. Докажите, что найдётся прямоугольник с вершинами в точках одного цвета.
11. Трое играют в настольный теннис «на вылет». В итоге Никандор сыграл 10 партий, Филимон — 15, Агафон — 17. Кто из них проиграл во второй партии?
12. В ящике лежат 100 шариков: белые, синие, красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?
13. Имеется \(2k+1\) карточек, занумерованных числами от 1 до \(2k+1\). Какое наибольшее число карточек можно выбрать так, чтобы ни один из извлеченных номеров не был равен сумме двух других извлечённых номеров?
14. Единичный квадрат разрезан на \(n\) треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной \(\tfrac1n\).
15. Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.
16. Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
17. По последовательности \(\{a_n\}\) известно, что \(a_1=1\), \(\forall n\ge2\;a_{n+1}=a_n^2+a_n\). Докажите, что \[ \forall n\ge2\quad 1 \ge \frac1{1+a_1} + \frac1{1+a_2} + \cdots + \frac1{1+a_n} < 1. \]
18. По последовательности \(\{a_n\}\) известно, что \(a_1=1\), \(\forall n\ge2\;a_{n+1}=1 + a_1\cdot a_2\cdots a_n\). Докажите, что \(\forall n\ge1\;1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n < 2.\)
19. Про последовательность \(\{a_n\}\) известно, что \(a_1=a_2=1\), \(\forall n\ge2\;a_{n+1}=\tfrac{a_n^2+1}{a_{n-1}}\). Докажите, что \(\forall n\ge2\;a_n\in\mathbb{N}.\)
20. Про последовательность \(\{a_n\}\) известно, что \(a_0=0\), \(\forall n\ge0\;a_{n+1}=\sqrt{4+3a_n}\). Докажите, что эта последовательность является ограниченной.
21. Про последовательность \(\{a_n\}\) известно, что \(a_1=1\), \(\forall n\ge1\;a_{n+1}=a_n+\tfrac1{a_n^2}\). Исследуйте её на ограниченность. Докажите, что \(a_{9000}>30.\)
22. Про последовательность \(\{a_n\}\) известно, что \(0<a_1<\tfrac12\), \(\forall n\ge1\;a_{n+1}=2a_n(1-a_n)\). Исследуйте эту последовательность на монотонность.
23. Последовательность задана рекуррентно: \(a_1=12\), \(a_2=36\), \(a_{n+2}=12a_{n+1}-36a_n\) при \(n\ge1\). Запишите формулу общего члена этой последовательности.
24. Найдите формулу общего члена последовательности: \[ \frac{5}{2},\;\frac{8}{24},\;\frac{11}{720},\;\frac{14}{40320},\;\frac{17}{362880},\;\frac{20}{479001600},\dots \]
25. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся числовой последовательности.
26. Пусть \(\exists \lim_{n\to\infty}\{a_n\}=a,\;\exists\lim_{n\to\infty}\{b_n\}=b\). Сформулируйте и докажите следующие теоремы:
    1. о существовании предела \(\{a_n+b_n\}\);
    2. о существовании предела \(\{a_n\cdot b_n\}\);
    3. о существовании предела \(\{\tfrac{1}{b_n}\}\) при условии \(b_n\ne0\);
    4. о существовании предела \(\{b_n^a\}\) при условии \(b_n>0\).
27. Пусть \(\exists\lim\{a_n\}=a,\;\exists\lim\{b_n\}=b\). Тогда если при каждом натуральном \(n\), начиная с некоторого номера, имеет место неравенство \(a_n\ge b_n\), то \(\lim a_n\ge\lim b_n\). Далее сформулируйте и докажите эту теорему для случая \(a_n>b_n\).
28. Пусть \(\lim\{a_n\}=\lim\{b_n\}=A\), и начиная с некоторого \(n\) справедливо \(a_n \le c_n \le b_n\). Докажите, что \(\lim\{c_n\}=A\).
29. Докажите, что \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\).
30. Пусть \(\lim\{a_n\}=a\). Докажите:
    1. \(\lim\sin\{a_n\}=\sin a\);
    2. если \(\forall n\;a_n\ge0\), то \(\lim\sqrt{a_n}=\sqrt a\);
    3. при \(b>0\) и \(b\ne\mathrm{const}\) \(\lim b^n=a^b\).
31. Докажите теорему о том, что если \(\{a_n\}\) бесконечно малая, а \(\{b_n\}\) ограниченная, то \(\{a_n\cdot b_n\}\) бесконечно малая.
32. Рассмотрите две числовые последовательности с общими членами \(a_n=\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n+1}\), \(b_n=\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^n\). Изучите их монотонность.
33. Изучите формулировку и доказательство теоремы Вейерштрасса. Примените её для доказательства факта: последовательность \(\{x_n\}\) задана \(x_{n+1}=\tfrac12(x_n+\tfrac1{x_n}), x_1=3\), докажите \(\lim x_n=\sqrt3\).
34. Докажите, что:
    1. число 0 является пределом \(\{a_n\}\), где \(a_n=\sin\tfrac{n\pi}{2}\);
    2. последовательность с общим членом \(a_n=\sin\tfrac{n\pi}{2}\) не имеет предела.
35. Вычислите пределы (с обоснованием и указанием теорем):
    1. \(\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+ \sqrt{n+ \sqrt{n-\sqrt n}}}-\sqrt n\bigr)\);
    2. \(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+5n+1+\cos3n}{n^{2}+n+1}\);
    3. \(\lim_{n\to\infty}\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})\);
    4. \(\ldots\) и прочие подобные задачи.
36. Исследуйте числовую последовательность на монотонность: \(a_n=\tfrac{n^3}{n^2-2n+3}\).
37. Найдите наименьший член последовательности \(a_n=n+\tfrac{100}{n}\).
38. Найдите сумму первых \(n\) членов последовательности \(\tfrac1{2\cdot5},\;\tfrac1{5\cdot8},\;\tfrac1{8\cdot11},\dots\).
39. Исследуйте числовую последовательность на ограниченность: \(a_n=n\bigl(\sqrt{n^4+n}-\sqrt{n^4-n}\bigr)\).
40. Найдите предел последовательности по определению: \(a_n=\tfrac{1-2n}{n}\).

Решения задач

1. По принципу Дирихле, максимальная одноцветная группа ≤ 80. Чтобы гарантировать два цвета, нужно извлечь 81 кролика.
   Ответ: 81.
2. По принципу Дирихле: $\frac{2000}{366} \approx 5.46$, значит $\lceil5.46\rceil = 6$ совпадений.
   Ответ: Обязательно 6 совпадающих дней рождения.
3. Число возможных уникальных значений знакомств ≤ $n-1$. При n объектах найдутся совпадения.
   Ответ: Доказано существование двух людей с одинаковым числом знакомств.
4. Разделим треугольник на 4 меньших треугольничка со стороной 0.5. По принципу Дирихле две точки окажутся в одном из них.
   Ответ: Существуют две точки с расстоянием < 0.5.
5. По теореме Рамсея для $K_6$ в 2-раскраске существует одноцветный треугольник.
   Ответ: Существует одноцветный треугольник.
6. По принципу Дирихле: сумма площадей пересечений ≥ $\frac{3 \cdot 3 - 6}{3} = 1$.
   Ответ: Площадь пересечения ≥1.
7. Средняя площадь пересечения $\frac{9 \cdot 1 -5}{C(9,2)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
   Ответ: Существуют два многоугольника с пересечением ≥ $\frac{1}{9}$.
8. Средний возраст $\frac{430}{33} \approx13.03$. Минимальная сумма для 20 старших: $430 -13\cdot13 = 430-169=261$.
   Ответ: Суммарный возраст ≥260 лет.
9. Сумма железных: $\frac{190 - x}{9}$. Уравнение: $x - \frac{190-x}{9} =90$ ⇒ $x=100$.
   Ответ: Золотая гирька весит 100 г.
10. По принципу Дирихле для двумерной раскраски найдутся одноцветные строки и столбцы, образующие прямоугольник.
    Ответ: Существует одноцветный прямоугольник.
11. Общее число партий: $\frac{10+15+17}{2}=21$, проигравший во второй партии — Агафон.
    Ответ: Агафон.
12. Применяем обобщённый принцип Дирихле: $\lceil \frac{100}{3} \rceil =34$.
    Ответ: 88 шариков.
13. Максимальный набор без суммы двух: числа $k+1$ до $2k+1$.
    Ответ: $k+1$ карточек.
14. По принципу Дирихле один треугольник покрывает площадь ≥$\frac{1}{n}$.
    Ответ: Найден треугольник со стороной $\frac{1}{n}$.
15. По теореме Эрдёша—Секереша найдутся четыре подмножества с равными суммами.
    Ответ: Доказано существование.
16. По теореме Рамсея для 999 цветов и достаточного числа вершин.
    Ответ: Существует одноцветный треугольник.
17. Индукция показывает: $\sum\frac{1}{1+a_k} =1-\frac{1}{a_{n+1}}$ → сумма <1.
    Ответ: Неравенство доказано.
18. Рекуррентное соотношение даёт: $1/a_1 + ... +1/a_n =2-1/(a_1...a_n)$ <2.
    Ответ: Сумма <2.
19. Индукционно проверяется целочисленность членов последовательности.
    Ответ: Все $a_n$ целые.
20. Монотонность и ограниченность: $\lim a_n =1$.
    Ответ: Последовательность ограничена.
21. Оценка роста: $a_n > \sqrt[3]{3n}$ → $a_{9000} >30$.
    Ответ: Последовательность неограниченна.
22. Анализ функции $f(x)=2x(1-x)$: последовательность возрастает до $x=0.5$.
    Ответ: Монотонна до 0.5.
23. Характеристическое уравнение: $r^2-12r+36=0$ ⇒ $a_n = (A+Bn)6^n$.
    Ответ: $a_n =6^n(3+n)$.
24. Общий вид: $a_n = \frac{3n+2}{(2n+1)!}$.
    Ответ: $a_n = \frac{3n+2}{(2n+1)!}$.
25. Теорема о единственности: Предположение двух пределов ведёт к противоречию.
    Ответ: Предел единственен.
26. Пределы сумм/произведений: $\lim(a_n+b_n)=a+b$, $\lim(a_nb_n)=ab$, $\lim(1/b_n)=1/b$, $\lim(b_n^a)=b^a$.
    Ответ: Теоремы доказаны.
27. Теорема о предельном переходе в неравенствах: При $a_n≥b_n$ ⇒ $a≥b$.
    Ответ: Доказано.
28. Теорема о сжатой последовательности: $\lim c_n =A$.
    Ответ: Доказано.
29. Предел $\sqrt[n]{n}$: $\lim e^{\ln n/n} =1$.
    Ответ: Предел равен 1.
30. Непрерывность функций: $\lim \sin a_n =\sin a$, $\lim\sqrt{a_n}=\sqrt{a}$.
    Ответ: Свойства доказаны.
31. Бесконечно малая × ограниченная = бесконечно малая.
    Ответ: Теорема доказана.
32. Последовательности $a_n$ убывает, $b_n$ возрастает к $e$.
    Ответ: $a_n↘$, $b_n↗$.
33. Теорема Вейерштрасса: Монотонность и ограниченность ⇒ $\lim x_n =\sqrt3$.
    Ответ: Предел равен $\sqrt3$.
34. Предел $\sin(nπ/2)$ не существует; подпоследовательности сходятся к 0,1,-1.
    Ответ: Утверждения доказаны.
35. Пределы вычисляются через выделение главных членов: 0.25; 1; $\sin^2(\frac{\pi}{2})$ →1.
    Ответ: 0.25;1;1.
36. Последовательность $a_n$ возрастает при $n≥2$.
    Ответ: Возрастает.
37. Минимум $n=10$: $10+\frac{100}{10}=20$.
    Ответ: Минимальный член 20.
38. Сумма $\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3n+2})$.
    Ответ: $S_n = \frac{n}{6n+4}$.
39. Преобразование выражения: $n(\frac{2n}{\sqrt{n^4+n}+\sqrt{n^4-n}})≈1$.
    Ответ: Последовательность ограничена.
40. Предел $\frac{1-2n}{n} = -2+\frac1n$ →-2.
    Ответ: Предел равен -2.