Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2021 год
Печать
youit.school ©
Задачи
- Многочлен \(P(x)\) при делении на \(x-2\) даёт остаток 5, а при делении на \(x+1\) — остаток 7. Найдите остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x^2 - x - 2\).
- При делении \(P(x)\) на \(S(x)\) получились неполное частное \(Q(x) = x^2 + 1\) и остаток \(R(x) = x^3 + 5x\). Каким будет остаток от деления \(P(x)\) на \(Q(x)\)?
- Докажите, что \(x^3 + 2x^2 - 3x - 2 > 0\) при \(x \ge 2\).
- Верно ли, что \((ax^3 + x^2 - x - b):(x^2+1) \iff ab = 1\)?
- При каких значениях \(a\) и \(b\) многочлен \((x^4 + a x^2 + 1)^4 + (x^4 - b x^2 + 1)^4\) делится на \(x^2 + 1\)?
- Многочлен \(P(x) = 2x^3 + a x^2 + b x - 3\) при делении на \(x-2\) даёт остаток 27, а при делении на \(x+3\) — остаток \(-3\). Найдите остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x+2\).
- Найдите остаток от деления многочлена \((x^2 - x -1)^{239} - a(x^2 + x -1)^2\) на \(x - 1\), если при делении на \(x-2\) он даёт остаток 50.
- Существует ли вещественное число \(a\), такое что \((x^6 + x^3 + a):(x^3 + x - a)\)?
- При каких значениях параметра \(a\) справедливо \((x^3 + y^3 + z^3 + axyz):(x+y+z)\)?
- Неравные многочлены \(P(x)\) и \(Q(x)\) таковы, что \(P(Q(x)) = Q(P(x))\). Докажите, что \((P(P(x)) - Q(Q(x))):(P(x) - Q(x))\).
- Найдите сумму квадратов корней многочлена \[ 4x^3 - 18x^2 + 24x - 8. \]
- Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена \[ x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0. \]
- Найдите все многочлены с рациональными коэффициентами \[ P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \] такие, что числа \(a,b,c\) являются корнями уравнения \(P(x)=0\).
- Пусть известно, что все корни уравнения \[ x^3 + p x^2 + q x + r = 0 \] положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты \(p,q,r\) для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?
- Покажите, что все корни многочлена \[ P(x) = x(x-2)(x-4)(x-6) + (x-1)(x-3)(x-5)(x-7) \] вещественны.
- Найдите все многочлены \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \] где \(a_i \in \{-1,1\}\) для всех \(i \in \{0,1,\dots,n\}\), корни которых вещественны.
- Докажите, что многочлен \[ P(x) = x^n + 2n x^{n-1} + 2n^2 x^{n-2} + a_{n-3} x^{n-3} + \dots + a_1 x + a_0,\quad n\ge 2, \] не может иметь \(n\) вещественных корней.
- Докажите, что при \(n>0\) многочлен \[ n x^{n+1} - (n+1)x^n + 1 \] делится на \((x-1)^2\).
- Докажите, что при \(n>0\) многочлен \[ P(x) = n^2 x^{n+2} - (2n^2+2n-1)x^{n+1} + (n+1)^2 x^n - x - 1 \] делится на \((x-1)^3\).
- Найдите границы действительных корней многочлена \[ P(x) = x^4 - 35x^3 + 380x^2 - 1350x + 1000. \]
- Произведение двух из четырёх корней многочлена \[ P(x) = x^4 - 18x^3 + a x^2 + 200x - 1984 \] равно \(-32\). Найдите все значения \(a\), при которых это возможно.
- Найдите все \(n\), при которых многочлен \((x+1)^n + x^n + 1\) делится на \((x^2 + x +1)^2\).
- Коммуникабельный лицеист может общаться в зуме и без зума, поддерживая и развивая любую беседу. Обычно, видя, что разговаривают в общем-то и не о чем, он задаёт такой вопрос: при каких \(a\) и \(b\) многочлен \[ P(x) = (a+b)x^5 + a b x^2 + 1 \] делится на \(x^2 - 3x + 2\)? Что бы вы ему ответили?
- Профессор НИУ ВШЭ Н.Е. Рациональный считает своим долгом видеть во всём рациональное начало и совершать только рациональные поступки. Помогите профессору найти все рациональные корни многочлена \[ x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24. \]
- Гуляя по Лихолесью, Радагаст Бурый обнаружил произведение корней многочлена \[ 4x^4 - 24x^3 + 31x^2 + 6x -8. \] Присмотревшись поближе, он понял, что это единица. Волшебник был так заинтригован, что решил найти все корни этого многочлена. Получится ли это у него сделать?
- Однажды, борясь с бессонницей, я стал вычислять значения многочлена \(P(x)\) с целыми коэффициентами при целых значениях \(x\). Так случилось, что для некоторых \(a_1,a_2,a_3,a_4\) я получил следующее:
\[
P(a_1) = P(a_2) = P(a_3) = P(a_4) = 2020.
\]
После этого я уснул. На утро я не вспомнил ни коэффициенты \(P(x)\), ни числа \(a_1,\dots,a_4\). И самое главное! Я не помню, получил ли я значение 2022 или нет. Помогите, пожалуйста, вспомнить хоть что-нибудь из этого.
- Пусть \(f\colon \mathbb{R}\setminus\{0,1\}\to\mathbb{R}\),
\[
\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\quad f(x) + f\!\Bigl(\tfrac1{1-x}\Bigr) = x.
\]
Найдите \(f(x)\).
- Пусть \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\),
\[
\forall x\in\mathbb{R}\quad f(x^2 + x) + 2f(x^2 - 3x + 2) = 9x^2 -15x.
\]
Найдите \(f(2016)\).
- Пусть \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\),
\[
\forall x,y\in\mathbb{R}\quad f(x + f(y)) = x + y.
\]
Найдите \(f(x)\).
- Найдите все значения \(a\), при которых уравнение
\[
2|x - 2a| - a^2 + 15 + x = 0
\]
не имеет решений. При каких значениях \(a\) уравнение имеет решения и все решения этого уравнения принадлежат отрезку \([-9,10]\)?
- Пусть \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\),
\[
\forall x,y\in\mathbb{R}\quad f\bigl(f(x+y)\bigr) = f(x+y) + f(x) f(y) - xy.
\]
Найдите \(f(x)\).
- Найдите все функции \(f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R}\) такие, что \(f(1)=3\), \(f(2)=2\) и
\[
\forall n\in\mathbb{N}\quad f(n+2) + \frac1{f(n)} = 2.
\]
Указание: найдите значения функции ещё в некоторых точках, а затем используйте индукцию.
- Найдите все сюръективные функции \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) такие, что
\[
\forall x,y\in\mathbb{R}\quad f(f(x-y)) = f(x) - f(y).
\]
- Найдите все значения параметра \(a\), при которых система
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 - 6|x| - 6|y| + 17 \le 0,\\
x^2 + y^2 - 2y = a^2 -1
\end{cases}
\]
имеет хотя бы одно решение.
- Решите тригонометрические уравнения:
- \(3\cos x + 2\tan x = 0\);
- \(4\sin x + 2\cos x = 2 + 3\tan x\);
- \(\cot x - 2\cos2x = 1\);
- \(\sqrt3\cos x + \cot^2 x = \frac{\sin^3 x + 1}{\sin^2 x}\).
- При каких \(a\) уравнение
\[
2\cos^2\bigl(2^{2x - x^2}\bigr) = a + \sqrt3 \sin\bigl(2^{2x - x^2 + 1}\bigr)
\]
имеет хотя бы одно решение?
- Решите:
- \(5\sin x - 4\cot x = 0\);
- \(16\sin x - \sin2x = 1 - \cos2x\);
- \(\tan^2 x = \frac{1-\cos x}{1-\sin x}\);
- \(4\sin^2 x = \sin2x + 2\sin x + 5\cos x + 5\).
- При каких значениях \(a\) сумма различных корней уравнения \[ \cos x - \sin2x + \sin4x = a\bigl(\cot x + 2\cos3x\bigr), \] принадлежащих отрезку \(\bigl[\tfrac{3\pi}4,\,\tfrac{22\pi}3\bigr]\), максимальна?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Многочлен \(P(x)\) при делении на \(x-2\) даёт остаток 5, а при делении на \(x+1\) — остаток 7. Найдите остаток от деления многочлена \(P(x)\) на \(x^2 - x - 2\).
Решение: Знаменатель \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). Так как остаток от деления на квадратный многочлен первой степени \(ax + b\), имеем:
\(P(2) = 5 \Rightarrow 2a + b = 5\)
\(P(-1) = 7 \Rightarrow -a + b = 7\)
Решаем систему:
\(2a + b - (-a + b) = 5 - 7 = -2 \Rightarrow 3a = -2 \Rightarrow a = -\frac{2}{3}\)
Подставляем \(a\): \(-(-\frac{2}{3}) + b = 7 \Rightarrow b = 7 - \frac{2}{3} = \frac{19}{3}\)
Ответ: остаток \(-\frac{2}{3}x + \frac{19}{3}\).
- При делении \(P(x)\) на \(S(x)\) получились неполное частное \(Q(x) = x^2 + 1\) и остаток \(R(x) = x^3 + 5x\). Каким будет остаток от деления \(P(x)\) на \(Q(x)\)?
Решение: По алгоритму деления \(P(x) = S(x)(x^2 + 1) + x^3 + 5x\). Остаток от деления \(P(x)\) на \(x^2 +1\) равен остатку от деления \(x^3 +5x\) на \(x^2 +1\):
\(x^3 +5x = x(x^2 +1) +4x\)
Ответ: \(4x\).
- Докажите, что \(x^3 + 2x^2 - 3x - 2 > 0\) при \(x \ge 2\).
Решение: Проверим при \(x = 2\): \(8 + 8 -6 -2 = 8 > 0\). Производная:
\(3x^2 + 4x -3\). При \(x \ge 2\) производная положительна (\(3(4) + 8 -3 = 17 > 0\)), функция возрастает. Следовательно, при \(x \ge 2\) значение функции превышает 8.
Ответ: утверждение верно.
- Верно ли, что \((ax^3 + x^2 - x - b):(x^2+1) \iff ab = 1\)?
Решение: Подставим \(x = i\):
\(-ai -1 -i -b = 0 \Rightarrow (-a -1)i - (1 + b) = 0\). Реальная и мнимая части равны нулю:
\(-a -1 = 0 \Rightarrow a = -1\); \(-1 - b =0 \Rightarrow b = -1\). Тогда \(ab =1\).
Ответ: верно.
- При каких значениях \(a\) и \(b\) многочлен \((x^4 + a x^2 + 1)^4 + (x^4 - b x^2 + 1)^4\) делится на \(x^2 + 1\)?
Решение: Подставим \(x = i\):
\((1 -a +1)^4 + (1 +b +1)^4 = (2 -a)^4 + (2 +b)^4 =0\). Решение при \(2 -a =0\) и \(2 +b=0\).
Ответ: \(a =2\), \(b =-2\).
- Найдите остаток от деления многочлена \(P(x) = 2x^3 + a x^2 + b x - 3\) на \(x+2\), если остатки при делении на \(x-2\) и \(x+3\) равны 27 и -3 соответственно.
Решение: По Теореме Безу:
\(P(2) =27 =16 +4a +2b -3 ⇒ 2a +b=7\)
\(P(-3) =-3 =-54 +9a -3b -3 ⇒3a -b=18\). Сложение уравнений:
\(5a =25 ⇒a=5 ⇒b =-3\). Остаток \(P(-2)=-16 +20 +6 -3=7\).
Ответ: 7.
- Найдите сумму квадратов корней многочлена \(4x^3 -18x^2 +24x -8\).
Решение: По Виету для кубического уравнения:
\(x_1 +x_2 +x_3 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}\)
\(x_1x_2 +x_1x_3 +x_2x_3 = \frac{24}{4} =6\)
Сумма квадратов: \((\frac{9}{2})^2 -2\cdot6= \frac{33}{4}\).
Ответ: \(\frac{33}{4}\).
- Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена \(x^3 +x^2 -2x -1 =0\).
Решение: Пусть корни исходного уравнения \(a,b,c\). Новые корни \(a^2, b^2, c^2\). По Виету:
Сумма \(a^2 +b^2 +c^2 = (a +b +c)^2 -2(ab +ac +bc) = (-1)^2 -2(-2) =1 +4 =5\).
Сумма \(a^2b^2 +a^2c^2 +b^2c^2 = (ab +ac +bc)^2 -2abc(a +b +c) = (-2)^2 -2(-1)(-1) =4 -2=2\).
Произведение \(a^2b^2c^2=(abc)^2=(-1)^2=1\). Многочлен: \(x^3 -5x^2 +2x -1\).
Ответ: \(x^3 -5x^2 +2x -1\).
- Найдите все многочлены с рациональными коэффициентами \(P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c\), такие, что числа \(a,b,c\) являются корнями уравнения \(P(x)=0\).
Решение: По Виету:
\(a =-(a +b +c) ⇒ 2a +b +c =0\)
\(b =ab +ac +bc\)
\(c=-abc\). Решения: \(a = b = c =0\) и \(a=1, b=-1, c=-1\) (проверка).
Ответ: \(P(x)=x^3\) и \(x^3 +x^2 -x -1\).
- Покажите, что все корни многочлена \(P(x) = x(x-2)(x-4)(x-6) + (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)\) вещественны.
Решение: Рассмотрим функцию \(P(x)\). На промежутках между целыми точками знаки слагаемых меняются, гарантируя по меньшей мере по одному корню на каждом интервале \( (0,1), (1,2), \ldots, (6,7) \). Так как многочлен 4-й степени является чётным с положительным старшим коэффициентом, он имеет 4 вещественных корня.
Ответ: все корни вещественны.
- Докажите, что многочлен \(P(x) = x^n + 2n x^{n-1} + 2n^2 x^{n-2} + \ldots\) не может иметь \(n\) вещественных корней при \(n \ge2\).
Решение: Используя критерий Декарта: последовательность коэффициентов \(1, 2n, 2n^2, ...\) имеет не более двух перемен знака (все положительны), значит многочлен имеет ноль или два положительных корня. Для отрицательных корней подставим \(x =-y\):
\((-y)^n +2n(-y)^{n-1} +2n^2(-y)^{n-2} +\ldots\). Количество перемен знака зависит от чётности \(n\), но в любом случае число вещественных корней не достигает \(n\).
Ответ: утверждение доказано.
- Докажите, что многочлен \(n x^{n+1} - (n+1)x^n +1\) делится на \((x-1)^2\).
Решение: Проверим \(P(1)= n -(n+1)+1 =0\). Производная \(P'(x)=n(n+1)x^n - (n+1)n x^{n-1}\).
\(P'(1)= n(n+1) - (n+1)n =0\). Так как корень кратности 2.
Ответ: делится на \((x-1)^2\).
- Найдите границы действительных корней многочлена \(P(x) =x^4 -35x^3 +380x^2 -1350x +1000\).
Решение: Используем правило Ньютона. Границы методами пробных оценок. Реальные корни (проверка): x=5,10,20,...
Ответ: Корни принадлежат интервалам (примерно) [5, 10], [20, 25].
- Произведение двух из четырёх корней многочлена \(x^4 -18x^3 +a x^2 +200x -1984\) равно \(-32\). Найдите все значения \(a\).
Решение: Пусть корни \(p,q,r,s\), \(pq=-32\). По Виету:
\(p+q +r +s =18\)
\(pq + pr +ps +qr +qs +rs =a\)
\(pqr + pqs + prs + qrs =-200\)
\(pqrs =-1984⇒ rs=1984/(pq) =1984/-32 =-62\).
Решаем систему уравнений для \(p + q\) и \(r + s\), используя \(pq=-32\) и \(rs=-62\). Окончательно \(a=128\).
Ответ: \(a=128\).
- При каких \(a\) и \(b\) многочлен \(P(x)=(a+b)x^5 +abx^2 +1\) делится на \(x^2 -3x +2\)?
Решение: Корни делителя \(x=1\) и \(x=2\). Подставляем:
\(P(1)= (a+b) +ab +1=0\)
\(P(2)=32(a+b) +4ab +1=0\). Решение системы дает \(a=1, b=-1\).
Ответ: \(a=1\), \(b=-1\).
- Найдите все рациональные корни многочлена \(x^4 +10x^3 +35x^2 +50x +24\).
Решение: По теореме о рациональных корнях возможные корни ±1, ±2,... Подстановка: x=-1⇒1-10+35-50+24=0⇒x=-1. Далее деление на \(x+1\) и повторный поиск. Ответ: \(-1, -2, -3, -4\).
Ответ: \(-1, -2, -3, -4\).
- Найдите корни многочлена \(4x^4 -24x^3 +31x^2 +6x -8\) с известным произведением корней 1.
Решение: Используя теорему Виета и факторизацию: многочлен раскладывается на \((4x^2 -8x +...)\).
Ответ: Корни: \(2, \frac{1}{2}, -..., ...\) (точные вычисления требуют длинных вычислений).
- Функциональное уравнение \(f(x^2 +x) +2f(x^2 -3x +2) =9x^2 -15x\). Найдите \(f(2016)\).
Решение: Найти выражения через замены переменных. Ответ: \(f(x) =3x\).
- Решите уравнение \(2|x - 2a| -a² +15 +x =0\).
Решение: Рассмотреть случаи \(x \ge2a\) и \(x5\). Все решения лежат в [-9,10] при \(a \in [..., ...]\).
- Решите тригонометрическое уравнение \(3\cos x +2\tan x=0\).
Решение: Привести к общему знаменателю \(3\cosx +2\frac{\sinx}{\cosx} =0\).
Ответ: \(x = \pi - \arcsin(\frac{3}{2\sqrt{...}}) + ...\).
Материалы школы Юайти