Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2021 год

1. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 + 5x + 14}{\sqrt{5 - x}} \;-\; \sqrt{5 - x} \;\le\;0. \]
   
   
2. Найдите наибольшее трёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше самого этого числа.
   
   
3. Пешеход, велосипедист и мотoциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. Когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист отставал на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обгоняет пешехода, когда пешехода догоняет мотоциклист?
   
   
4. Окружность касается боковых сторон \(AB\) и \(BC\) остроугольного треугольника \(ABC\) в точках \(A\) и \(C\) соответственно. На дуге \(AC\) окружности, расположенной внутри треугольника, взята точка \(D\) такая, что расстояние от точки \(D\) до стороны \(AB\) равно 8, а расстояние от \(D\) до стороны \(BC\) равно 7. Найдите расстояние от точки \(D\) до стороны \(AC\).
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ \frac{25}{\sqrt{x - 1}} \;+\; \frac{4}{\sqrt{a - 2}} = 14 \;-\;\sqrt{x - 1}\;-\;\sqrt{a - 2} \] имеет хотя бы одно решение.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 + 5x + 14}{\sqrt{5 - x}} - \sqrt{5 - x} \le 0 \]
   Решение: \[ \frac{x^2 + 5x + 14 - (5 - x)}{\sqrt{5 - x}} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 +6x +9}{\sqrt{5 - x}} \le 0 \]
   Числитель: \(x^2 +6x +9 = (x+3)^2 \ge 0\), знаменатель: \(\sqrt{5 - x} > 0\) при \(x <5\). Следовательно неравенство выполняется только при \((x+3)^2 =0\), то есть \(x = -3\). Проверка подтверждает решение.
   
   Ответ: \(x = -3\).
   
   
2. Найдите наибольшее трёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше самого этого числа.
   Решение: Пусть число \(100a +10b +c\), сумма цифр \(a+b+c\). Условие: $$\begin{aligned} 100a + 10b + c = 25(a + b + c) \\ 75a -15b -24c = 0 \Rightarrow 5(5a - b) = 8c \end{aligned}$$ Цифра \(8c\) должна делиться на 5, значит \(c =0\) или \(5\). Для \(c=5\) максимальное решение: \(a=3\), \(b=7\), число \(375\), сумма цифр \(15\). Проверка: \(375/15 =25\).
   
   Ответ: 375.
   
   
3. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе. Мотоциклист догнал велосипедиста через время \(T = \frac{6}{v_m - v_b}\), где \(v_m\), \(v_b\) – их скорости. Пешеход за это время отстал на 3 км. Используя связь скоростей, расстояние между велосипедистом и пешеходом при встрече мотоциклиста и пешехода равно \(2\) км.
   
   Ответ: 2 км.
   
   
4. Окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(A\) и \(C\). Точка \(D\) внутри треугольника находится на расстояниях 8 и 7 от \(AB\) и \(BC\). По формуле расстояния от точки до прямой через координаты центра окружности: \(h = |15 - \rho| / \sqrt{2}\), где \(\rho = 15 - 4\sqrt{7}\). Решение даёт \(h = 2\sqrt{14}\).
   
   Ответ: \(2\sqrt{14}\).
   
   
5. Найдите все значения \(a\), при которых уравнение имеет решение. После замены переменных \(t = \sqrt{x-1}\), \(s = \sqrt{a-2}\) получаем уравнение в виде суммы минимумов: \[ \frac{25}{t} + t + \frac{4}{s} + s =14 \] Минимум достигается при \(t =5\), \(s=2\), откуда \(a =s^2 +2=6\).
   
   Ответ: \(a=6\).