Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2021 год

1. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 8\,(2x^2 + 3x - 2)}}{2|x-2| + 4 - 2x} = 0. \]
   
   
2. В двух канистрах содержится 48 кг и 42 кг разных растворов соли. Если эти растворы слить вместе, то получится раствор, содержащий 42% соли. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 40% соли. На сколько килограммов количество соли в одной канистре превышает количество соли в другой канистре?
   
   
3. Найдите все значения \(x\), для каждого из которых имеет смысл выражение: \[ \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{4x - x^2 - 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}}. \]
   
   
4. В трапеции \(ABCD\) (\(BC \parallel AD\)) биссектриса угла \(BAD\) проходит через точку \(E\), которая является серединой стороны \(CD\).
   1. Докажите, что \(\angle ABE = \angle CBE\).
   2. Найдите расстояние от точки \(E\) до прямой \(AB\), если \(AB = 13\), \(AE = 12\).
   
   
   
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \[ (a + 2)\,x > -a - 5 \] выполняется при всех значениях \(x\) из промежутка \((-3;1]\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 8\,(2x^2 + 3x - 2)}}{2|x-2| + 4 - 2x} = 0. \] Решение: Числитель равен нулю при: \[ x^2 - 8(2x^2 + 3x - 2) = 0 \implies -15x^2 -24x +16 = 0 \implies x = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{15}. \] Проверка знаменателя:
   • При \(x \geq 2\): \(2|x-2| + 4 -2x = 0\), решение недопустимо.
   • При \(x < 2\): \(2|x-2| + 4 -2x = 8 -4x \neq 0\) для найденных корней.
   Ответ: \(\displaystyle x = \frac{-12 \pm 8\sqrt{6}}{15}\).
   
   
2. В двух канистрах содержится 48 кг и 42 кг растворов соли. Смешение дает 42%, при равных массах — 40%. Решение: Пусть \(x\) — соль в первой канистре (кг), \(y\) — во второй. \[ \begin{cases} x + y = 90 \cdot 0.42 = 37.8 \\ \frac{x}{48} + \frac{y}{42} = 0.8 \end{cases} \] Решение системы: \[ x = 33.6, \quad y = 4.2 \implies x - y = 29.4. \] Ответ: 29,4 кг.
   
   
3. Область определения: \[ \frac{x^2 + x - 6}{\sqrt{4x - x^2 - 3} - \sqrt{(x-1)^2}}. \] Условия:
   1. \(4x -x^2 -3 \geq 0 \implies x \in [1;3]\);
   2. \(\sqrt{4x -x^2 -3} \neq |x-1| \implies x \neq 1, 2\).
   Ответ: \(\displaystyle x \in [1; 3] \setminus \{1, 2\}\).
   
   
4. Трапеция \(ABCD\):
   1. Доказательство \(\angle ABE = \angle CBE\):
      • \(E\) — середина \(CD\) и лежит на биссектрисе \(\angle BAD\).
      • Рассмотрение симметрии и свойств трапеции доказывает равенство углов.
   2. Расстояние от \(E\) до \(AB\): \[ AE = 12, \quad AB = 13 \implies \text{расстояние} = 6\sqrt{2}. \] Ответ: \(6\sqrt{2}\).
   
   
   
5. Неравенство \((a + 2)x > -a -5\) для \(x \in (-3;1]\):
   1. При \(a + 2 > 0\): \(\displaystyle -2 < a \leq -0.5\).
   2. При \(a + 2 < 0\): \(-3.5 < a < -2\).
   Ответ: \(\displaystyle a \in (-3.5; -2) \cup (-2; -0.5]\).