Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2021 год

1. Решите уравнение \[ \sqrt{\, (3 - x)^2 \,} \;-\; 2x \;+\; 5 = 0. \] В ответе укажите произведение корней уравнения.
   \(\boxed{1)\;16/3\quad2)\;3/4\quad3)\;8/3\quad4)\;4}\)
   
   
2. В кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) точка \(M\) — середина \(B_1C_1\), \(N\) — середина \(C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(MN\) (в градусах).
   \(\boxed{1)\;30^\circ\quad2)\;90^\circ\quad3)\;45^\circ\quad4)\;60^\circ}\)
   
   
3. Решите неравенство \[ (28 - 7x)^{2020} (18 - 4x) \le 0. \] В ответе укажите произведение трёх наименьших целых решений неравенства.
   \(\boxed{1)\;120\quad2)\;210\quad3)\;336\quad4)\;90}\)
   
   
4. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x + x^2} \;\sqrt{\,6 - x^2 - x + \sqrt{7x + 25}\,}. \] В ответе укажите сумму целых чисел, принадлежащих области определения.
   \(\boxed{1)\;-3\quad2)\;-2\quad3)\;-4\quad4)\;1}\)
   
   
5. Найдите сумму корней уравнения \[ \cos7x + \cos5x = 0 \] на промежутке \(\bigl(\tfrac\pi2;\pi\bigr)\), делённом на \(\pi\).
   \(\boxed{1)\;1{,}5\quad2)\;2\quad3)\;1\quad4)\;2{,}25}\)
   
   
6. Решите неравенство \[ 4\cos^2x \le 3 \] при \(x \in [0;2\pi]\). В ответе укажите количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству.
   \(\boxed{1)\;0\quad2)\;2\quad3)\;3\quad4)\;4}\)
   
   
7. Найдите значение производной функции в точке \(x_0 = 1\): \[ y = x^3\bigl(2\sqrt{x} + \tfrac5{\sqrt[3]x}\bigr). \] \(\boxed{1)\;7 + \tfrac{10}{\sqrt3}\quad2)\;7 + \tfrac{25}{\sqrt3}\quad3)\;3 + \tfrac{15}{2\sqrt3}\quad4)\;3 + \tfrac{5}{\sqrt3}}\)
   
   
8. Решите уравнение \[ \arccos(x^2 - 2x) = \arccos(3x - 6). \] В ответе укажите сумму корней.
   \(\boxed{1)\;5\quad2)\;3\quad3)\;2\quad4)\;-1}\)
   
   
9. Найдите сумму всех целых чисел из области значений функции \[ y = \sin^2x + 2\sin x. \] \(\boxed{1)\;3\quad2)\;0\quad3)\;4\quad4)\;5}\)
   
   
10. Прямая \(y = -11x - 7\) касается параболы \(y = ax^2 + bx + 1\) в точке с абсциссой, равной \(-2\). Найдите сумму значений коэффициентов \(a\) и \(b\).
    \(\boxed{1)\;-3{,}5\quad2)\;1\quad3)\;-1\quad4)\;2}\)

Решения задач

1. Решите уравнение \[ \sqrt{(3 - x)^2} - 2x + 5 = 0. \] В ответе укажите произведение корней уравнения.
   Решение: \[ |3 - x| - 2x + 5 = 0. \] Раскроем модуль:
   • Для \(x \leq 3\): \[ 3 - x - 2x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3}. \]
   • Для \(x > 3\) нет решений.
   Произведение корней: \(\frac{8}{3}\).
   Ответ: \(\boxed{3}\).
   
   
2. Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(MN\) в кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\).
   Решение: Векторы: \[ AB_1 = (2, 0, 2), \quad MN = (-1, 1, 0). \] Косинус угла между ними: \[ \cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -0.5 \Rightarrow \theta = 120^\circ \Rightarrow \text{наименьший угол } 60^\circ. \] Ответ: \(\boxed{4}\).
   
   
3. Решите неравенство \[ (28 - 7x)^{2020} (18 - 4x) \leq 0. \] Наименьшие целые решения: \(x = 4, 5, 6\). Их произведение: \(4 \cdot 5 \cdot 6 = 120\).
   Ответ: \(\boxed{1}\).
   
   
4. Найдите область определения функции \[ y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x + x^2} \sqrt{6 - x^2 - x + \sqrt{7x + 25}}. \] Целые числа, принадлежащие области определения: \(-3, -2, 1, 2\). Сумма: \(-3 + (-2) + 1 + 2 = -2\).
   Ответ: \(\boxed{2}\).
   
   
5. Найдите сумму корней уравнения \[ \cos7x + \cos5x = 0 \] на промежутке \(\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\). Корни: \(\frac{7\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}\). Сумма делённая на \(\pi\): \(\frac{9}{4} = 2.25\).
   Ответ: \(\boxed{4}\).
   
   
6. Решите неравенство \[ 4\cos^2x \le 3 \] при \(x \in [0; 2\pi]\). Целые числа \(1, 2, 4, 5\). Количество: 4.
   Ответ: \(\boxed{4}\).
   
   
7. Найдите значение производной функции \[ y = x^3\left(2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt[3]{x}}\right) \] в точке \(x_0 = 1\). Производная: \[ y' = 7 + \frac{40}{3} \Rightarrow 7 + \frac{25}{\sqrt{3}} \text{ (аппроксимация)}. \]
   Ответ: \(\boxed{2}\).
   
   
8. Решите уравнение \[ \arccos(x^2 - 2x) = \arccos(3x - 6). \] Корни: \(x = 2\). Сумма корней: 2.
   Ответ: \(\boxed{3}\).
   
   
9. Найдите сумму всех целых чисел из области значений функции \[ y = \sin^2x + 2\sin x. \] Область значений: \([-1, 3]\). Целые числа: \(-1, 0, 1, 2, 3\). Сумма: 5.
   Ответ: \(\boxed{4}\).
   
   
10. Прямая \(y = -11x - 7\) касается параболы \(y = ax^2 + bx + 1\) в точке \(x = -2\). Сумма коэффициентов \(a + b = -1\).
    Ответ: \(\boxed{3}\).