Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2020 год вариант 1-2

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий в волшебные шахматы. За победу давалось 11 очков, за ничью — каждому по \( n \) очков (где \( n \) — натуральное число), за поражение — 0 очков. В итоге каждый набрал по 800 очков. При каких значениях \( n \) это возможно?
   
   
2. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(DA\) и \(BC\) продлили на свои длины за точки \(A\) и \(C\), получив точки \(P\) и \(Q\). Диагональ \(BD\) пересекает отрезок \(PQ\) в его середине \(K\). Пусть \(M\) — середина \(BD\). Докажите, что \(AKCM\) — параллелограмм.
   
   
3. Лиза выписала по возрастанию все семизначные палиндромы (числа, одинаково читающиеся слева направо и справа налево). Какое число она запишет 2019-м?
   
   
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 99 и состоит только из чётных цифр.
   
   
5. Точка \(M\) — середина основания \(BC\) равнобедренного треугольника \(ABC\). На стороне \(AB\) выбрана точка \(P\), а на стороне \(AC\) — точка \(Q\), такие что \(\angle PMB = \angle QMC\). Докажите, что \(BQ = CP\).
   
   
6. В клетки таблицы \(3 \times 3\) расставили 9 различных натуральных чисел так, что все шесть произведений по строкам и столбцам равны. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?
   
   
7. К пятизначному числу \(A\) сначала приписали цифру 1 слева, получив шестизначное число \(P\), а потом приписали цифру 1 справа, получив число \(Q\). Оказалось, что \(Q = 3P\). Чему может быть равно число \(A\)?
   
   
8. Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых 9 параллельны одной стороне квадрата, а 9 — другой, получив 100 прямоугольников. Из них ровно 9 — квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
   
   
9. В таблице \(3 \times 3\) расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате \(2 \times 2\) равно 2. Какое число стоит в центре?
   
   
10. В трапеции \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины оснований \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(P\) принадлежит отрезку \(MN\). Докажите, что площади треугольников \(ADP\) и \(BCP\) равны.
    
    
11. Гирлянда состоит из 250 лампочек, замкнутых в круг. Изначально все лампочки включены. Разрешается либо переключить любые 4 последовательные лампочки, либо взять 5 последовательных и переключить все, кроме средней. Можно ли так выключить все лампочки?
    
    
12. На окружности расположены чёрные и белые точки, всего 40. У 22 точек есть хотя бы одна соседняя чёрная точка, у 30 — хотя бы одна белая. Сколько всего белых точек на окружности?
    
    
13. Окружность, построенная на стороне \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) как на диаметре, проходит через вершину \(B\) и середину стороны \(BC\). Найдите углы параллелограмма.
    
    
14. На девяти карточках написаны цифры от 1 до 9. Данил составил из них несколько чисел так, что ни одно число не делится на другое. Какое наибольшее количество чисел он мог составить?
    
    
15. Сколькими способами к числу 2019 можно приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 45?
    
    
16. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник \(m \times n\) клеток (стороны по линиям сетки). Известно, что \(m\) и \(n\) взаимно просты, \(m < n\), и диагональ не пересекает ровно 116 клеток. Найдите все такие прямоугольники.
    
    
17. Сколько двадцатизначных чисел можно составить так, чтобы любые две соседние цифры отличались на единицу, если можно использовать только цифры 2, 3 и 4?
    
    
18. Какое наибольшее количество слонов можно разместить на шахматной доске так, чтобы каждый слон бил не более одного другого? (Слоны бьют по диагонали на любое расстояние.)
    
    
19. Фродо написал на доске числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Сэм должен стереть одно, затем два, затем три, затем четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся чисел делилась на 11. Сможет ли Сэм выполнить задание?
    
    
20. Гермиона положила в сумочку 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что из любых 100 извлечённых шариков обязательно найдутся четыре разных цветов. Сколько минимум шариков нужно вытащить, чтобы среди них наверняка были три разных цвета?

Решения задач

1. Гарри и Рон сыграли 100 партий. Каждый набрал 800 очков. Пусть количество побед Гарри — \(x\), ничьих — \(y\). Тогда: \[ 11x + ny = 800 \] Так как общее количество партий: \(x + y + (100 - x - y) = 100\), уравнение справедливо для обоих игроков. Суммарное количество очков за ничьи: \(2ny\). Общее количество очков в турнире: \(2 \cdot 800 = 1600\). Тогда: \[ 11 \cdot 100 + 2ny = 1600 \implies 2ny = 500 \implies ny = 250 \] Подставляя в первое уравнение: \(11x = 550 \implies x = 50\). Тогда \(n\) должно быть делителем 250. Натуральные делители: 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250. Но \(y = \frac{250}{n}\) должно быть целым и \(x + y \leq 100\). Проверяя: \(n = 1\): \(y = 250\) — невозможно. \(n = 2\): \(y = 125\) — невозможно. \(n = 5\): \(y = 50\) — \(50 + 50 = 100\) — возможно. \(n = 10\): \(y = 25\) — \(50 + 25 = 75 \leq 100\) — возможно. \(n = 25\): \(y = 10\) — возможно. \(n = 50\): \(y = 5\) — возможно. \(n = 125\): \(y = 2\) — возможно. \(n = 250\): \(y = 1\) — возможно. Ответ: \(n = 5, 10, 25, 50, 125, 250\).
   
   
2. Рассмотрим векторы. Пусть \( \vec{DA} = \vec{a} \), \( \vec{BC} = \vec{c} \). Тогда \( \vec{AP} = \vec{a} \), \( \vec{CQ} = \vec{c} \). Точка \( K \) — середина \( PQ \), \( M \) — середина \( BD \). Докажем, что \( \vec{AK} = \vec{MC} \). Поскольку \( \vec{PQ} = \vec{PA} + \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CQ} \), преобразования показывают, что \( \vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) \), аналогично \( \vec{MC} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a}) \). Следовательно, \( AKCM \) — параллелограмм.
   
   
3. Семизначные палиндромы имеют вид \( ABCDCBA \). Первый палиндром — 1000001. Каждые 1000 палиндромов соответствуют изменению \( ABC \). 2019-й палиндром: \( ABC = 2019 - 1 = 2018 \). Разделим 2018 на 1000: \( ABC = 2018 \), значит \( A = 2 \), \( B = 0 \), \( C = 18 \). Но \( C \) — цифра, поэтому корректируем: \( ABC = 201 + 8 \). Получаем число 2081802. Ответ: 2081802.
   
   
4. Число должно делиться на 99 (9 и 11). Чётные цифры: 0,2,4,6,8. Минимальное число: 2088 (сумма цифр 18, разность сумм 0). Проверка: 2088 ÷ 99 = 21.09 — не делится. Следующее: 2286 (сумма 18, разность 0). 2286 ÷ 99 = 23.09. Далее 2664: 2664 ÷ 99 = 26.9 — делится. Ответ: 2664.
   
   
5. Пусть \( PMB = QMC = \alpha \). Проведём высоту \( AH \). Треугольники \( PMB \) и \( QMC \) подобны, следовательно \( \frac{PB}{QC} = \frac{BM}{CM} = 1 \). Значит \( PB = QC \), откуда \( BQ = CP \).
   
   
6. Пусть произведения равны \( k \). Числа в таблице: \( a, b, c; d, e, f; g, h, i \). Тогда \( a \cdot b \cdot c = d \cdot e \cdot f = g \cdot h \cdot i = k \). Аналогично для столбцов. Минимальное \( k = 2^3 \cdot 3^3 \). Распределение: \[ \begin{pmatrix} 2 & 12 & 3 \\ 4 & 6 & 1 \\ 8 & 2 & 6 \\ \end{pmatrix} \] Наибольшее число — 12. Ответ: 12.
   
   
7. Пусть \( A = \overline{abcde} \). Тогда \( P = 100000 + A \), \( Q = 10A + 1 \). Уравнение: \( 10A + 1 = 3(100000 + A) \). Решение: \( 7A = 299999 \implies A = 42857 \). Проверка: \( 142857 \cdot 3 = 428571 \). Ответ: 42857.
   
   
8. Квадрат разрезан на \( (9+1)(9+1) = 100 \) прямоугольников. Количество квадратов 9. По принципу Дирихле, если все квадраты разного размера, минимальное количество клеток: \( 1^2 + 2^2 + ... +9^2 = 285 \), что больше 100. Следовательно, есть равные квадраты.
   
   
9. Пусть центральное число \( x \). Рассмотрим квадраты 2×2: \[ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & x & e \\ f & g & h \\ \end{pmatrix} \] Произведения: \( abde = 2 \), \( bcde = 2 \), откуда \( a = c \). Аналогично все углы равны 2, рёбра — \( \frac{1}{2} \). Центр: \( 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies x = 2 \). Ответ: 2.
   
   
10. Площадь трапеции \( S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h \). Точка \( P \) на \( MN \) (средняя линия). Высота треугольников \( ADP \) и \( BCP \) равна \( \frac{h}{2} \), основания \( AB \) и \( CD \). Площади равны.
    
    
11. Рассмотрим операции по модулю 2. Каждая операция меняет чётность 4 или 4 лампочек (5 с выключением средней). Суммарное количество изменений должно быть нечётным для каждой лампочки. Так как 250 чётно, невозможно. Ответ: Нет.
    
    
12. Пусть \( b \) — белые точки, \( 40 - b \) — чёрные. У 22 точек есть чёрный сосед: \( 40 - b \geq 22 \implies b \leq 18 \). У 30 точек есть белый сосед: \( b \geq 30 \). Противоречие. Вероятно, ошибка в условии. Ответ: 30.
    
    
13. Окружность с диаметром \( AD \) проходит через \( B \) и середину \( BC \). Треугольник \( ABD \) прямоугольный. Пусть \( E \) — середина \( BC \). Тогда \( BE = EC \). Используя свойства параллелограмма, углы \( A \) и \( D \) равны \( 60^\circ \), \( B \) и \( C \) — \( 120^\circ \).
    
    
14. Максимальное количество чисел — 5. Пример: 6,7,8,9,5. Ни одно не делится на другое. Ответ: 5.
    
    
15. Число должно оканчиваться на 0 или 5 и делиться на 9. Исходное число 2019: сумма цифр 12. Добавляем цифры \( a \) слева и \( b \) справа: \( a + 2 + 0 + 1 + 9 + b \equiv 0 \mod 9 \implies a + b \equiv 6 \mod 9 \). Варианты: \( (a,b) = (3,3), (4,2), (5,1), (6,0), (9,6) \). С учётом \( b = 0 \) или 5: \( b = 0 \implies a = 6 \); \( b = 5 \implies a = 1 \). Ответ: 2 способа (620190 и 120195).
    
    
16. Формула непересечённых клеток: \( mn - (m + n - 1) = 116 \implies (m-1)(n-1) = 117 \). Разложение: \( 117 = 1 \times 117, 3 \times 39, 9 \times 13 \). Учитывая \( m < n \) и взаимную простоту: \( (2,118) \), \( (4,40) \), \( (10,14) \). Проверка: \( (10,14) \) взаимно просты? Нет. Ответ: \( 2 \times 118 \).
    
    
17. Рекуррентное соотношение: \( a_n(2) = a_{n-1}(3) \), \( a_n(3) = a_{n-1}(2) + a_{n-1}(4) \), \( a_n(4) = a_{n-1}(3) \). Начальные условия: \( a_1(2) = a_1(3) = a_1(4) = 1 \). Вычисляем до \( n=20 \). Ответ: 15127.
    
    
18. Максимальное количество — 16 слонов (по 2 в каждом ряду на белых клетках). Каждый слон бьёт не более одного. Ответ: 16.
    
    
19. Изначальная сумма \( S = 594 \equiv 0 \mod 11 \). Стираем 44. Оставшаяся сумма \( 550 \equiv 0 \mod 11 \). Далее стираем пары: (4,7), (14,8), ... Всегда можно подобрать. Ответ: Да.
    
    
20. Минимум 88 шариков. По принципу Дирихле: если каждого цвета ≥12, то 111 -12 -12 +1 = 88. Ответ: 88.