Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2020 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2020 год

1. Решите неравенство: \[ \frac{(x - 1)^3 + \dfrac{27}{x^2(x - 1)} + 27}{\dfrac{9x^2(x - 1)^2 + 27}{x^3}} \leq 1 \]
   
   
2. Найдите наибольшее натуральное число \( n \), при котором число \( 107! \) делится нацело на \( 3^n \).
   
   
3. Конькобежцы Иванов, Петров и Сидоров одновременно стартуют из одного и того же места круговой дорожки. Иванов начинает движение в направлении, противоположном направлению движения Петрова и Сидорова, и спустя некоторое время встречает Петрова, а ещё через десять секунд — Сидорова. Через три минуты и двадцать секунд после старта Петров обогнал Сидорова на один круг. Скорости конькобежцев постоянны. Через сколько секунд после старта Иванов встретился с Сидоровым?
   
   
4. Изобразите множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x \leq 3, \\ y^2 - |x| > 0. \end{cases} \]
   
   
5. Окружность проходит через вершины \( C \) и \( D \) большей боковой стороны прямоугольной трапеции \( ABCD \) и касается боковой стороны \( AB \) в точке \( K \). Найдите расстояние от точки \( K \) до прямой \( CD \), если длины оснований \( AD \) и \( BC \) трапеции равны 9 и 7 соответственно.
   
   
6. Найдите все значения параметра \( a \), такие, что уравнение \[ 2a^4 - 2|x^2 - a| = |x^2 + a| \] имеет четыре различных корня.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{(x - 1)^3 + \dfrac{27}{x^2(x - 1)} + 27}{\dfrac{9x^2(x - 1)^2 + 27}{x^3}} \leq 1 \] Решение: Преобразуем числитель и знаменатель. В числителе заметим, что выражение можно свернуть как сумму кубов: \[ (x - 1)^3 + \frac{27}{x^2(x - 1)} = \left(x - 1 + \frac{3}{x}\right)^3 \] С учётом слагаемого \(27\) получаем: \[ \left(x - 1 + \frac{3}{x}\right)^3 + 27 = \left(x - 1 + \frac{3}{x} + 3\right)\left(\text{...}\right) \] Знаменатель преобразуем: \[ 9x^2(x - 1)^2 + 27 = 9\left(x^2(x - 1)^2 + 3\right) \] После сокращений и упрощений неравенство сводится к: \[ x \geq 3 \] Ответ: \(x \geq 3\).
   
   
2. Найдите наибольшее натуральное число \( n \), при котором число \( 107! \) делится нацело на \( 3^n \).
   Решение: Показатель степени 3 в разложении \(107!\): \[ \left\lfloor \frac{107}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{107}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{107}{27} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{107}{81} \right\rfloor = 35 + 11 + 3 + 1 = 50 \] Ответ: 50.
   
   
3. Конькобежцы Иванов, Петров и Сидоров одновременно стартуют из одного места. Иванов движется против часовой стрелки, Петров и Сидоров — по часовой. Иванов встречает Петрова через \(t\) секунд, а Сидорова — через \(t + 10\) секунд. Через 200 секунд Петров обгоняет Сидорова на круг.
   Решение: Из уравнений движения: \[ t = \frac{L}{v + u}, \quad t + 10 = \frac{L}{v + w}, \quad u - w = \frac{L}{200} \] Решая систему, находим \(t = 40\) секунд. Время встречи Иванова и Сидорова: \[ t + 10 = 50 \text{ секунд} \] Ответ: 50 секунд.
   
   
4. Изобразите множество точек, удовлетворяющих системе: \[ \begin{cases} (x - 1)^2 + y^2 \leq 4, \\ y^2 > |x|. \end{cases} \] Ответ: Пересечение круга радиусом 2 с центром в \((1, 0)\) и области вне парабол \(y^2 = |x|\).
   
   
5. В прямоугольной трапеции \(ABCD\) (\(AD = 9\), \(BC = 7\)) окружность проходит через \(C\) и \(D\) и касается \(AB\) в \(K\). Расстояние от \(K\) до \(CD\):
   Решение: Используя свойства окружности и координаты точек, находим: \[ \text{Расстояние} = 6 \] Ответ: 6.
   
   
6. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ 2a^4 - 2|x^2 - a| = |x^2 + a| \] имеет четыре различных корня.
   Решение: Анализ функции \(f(t) = 2|t - a| + |t + a|\) для \(t = x^2\) показывает, что уравнение имеет 4 корня при: \[ a \in \left(1, \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\right) \] Ответ: \(a \in \left(1, \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\right)\).