8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей НИУ ВШЭ из 10 в 11 класс 2020 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ


2020 год




  1. Решите уравнение: \[ \sqrt{(3 - x)^2} - 2x + 5 = 0 \] В ответе укажите произведение корней уравнения.

  2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ — середина $B_1C_1$, $N$ — середина $C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $MN$ (в градусах).

  3. Решите неравенство: \[ (28 - 7x)^{2020}(18 - 4x) \leq 0 \] В ответе укажите произведение трёх наименьших целых решений неравенства.

  4. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x + x^2 \sqrt{6 - x^2 - x + \sqrt{7x + 25}}} \] В ответе укажите сумму целых чисел, принадлежащих области определения функции.

  5. Найдите сумму корней уравнения: \[ \cos 7x + \cos 5x = 0 \quad \text{на промежутке } \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \] Ответ укажите, разделив сумму на $\pi$.

  6. Решите неравенство: \[ 4 \cos^2 x \leq 3 \quad \text{при } x \in [0; 2\pi] \] В ответе укажите количество целых чисел, удовлетворяющих неравенству.

  7. Найдите значение производной функции в точке $x_0 = 1$: \[ y = x^3\left( 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{3x}} \right) \]

  8. Решите уравнение: \[ \arccos(x^2 - 2x) = \arccos(3x - 6) \] В ответе укажите сумму корней.

  9. Найдите сумму всех целых чисел из области значений функции: \[ y = \sin^2 x + 2\sin x \]

  10. Прямая $y = -11x - 7$ касается параболы $y = ax^2 + bx + 1$ в точке с абсциссой $-2$. Найдите сумму значений коэффициентов $a$ и $b$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \sqrt{(3 - x)^2} - 2x + 5 = 0 \] Решение: \[ \sqrt{(3 - x)^2} = |3 - x| \] Уравнение принимает вид: \[ |3 - x| = 2x - 5 \] Рассмотрим два случая:
    1. \(3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3\): \[ 3 - x = 2x - 5 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \] Проверка: \(2 \cdot \frac{8}{3} - 5 = \frac{1}{3} \geq 0\) — подходит.
    2. \(3 - x 3\): \[ x - 3 = 2x - 5 \Rightarrow x = 2 \] Не удовлетворяет условию \(x > 3\).
    Единственный корень: \(x = \frac{8}{3}\). Произведение корней равно \(\frac{8}{3}\).
    Ответ: \(\frac{8}{3}\).

  2. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(M\) — середина \(B_1C_1\), \(N\) — середина \(C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AB_1\) и \(MN\) (в градусах).
    Решение: Введем координаты: \[ A(0,0,0), \ B_1(1,0,1), \ M(1,0.5,1), \ N(0.5,1,1) \] Векторы: \[ \overrightarrow{AB_1} = (1,0,1), \ \overrightarrow{MN} = (-0.5,0.5,0) \] Найдем угол между векторами: \[ \cos \theta = \frac{(1)(-0.5) + (0)(0.5) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-0.5)^2 + 0.5^2 + 0^2}} = \frac{-0.5}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = -0.5 \] Угол \(\theta = 120^\circ\), но минимальный угол между прямыми равен \(60^\circ\).
    Ответ: \(60\).

  3. Решите неравенство: \[ (28 - 7x)^{2020}(18 - 4x) \leq 0 \] Решение: Так как \((28 - 7x)^{2020} \geq 0\), неравенство сводится к: \[ 18 - 4x \leq 0 \Rightarrow x \geq 4.5 \] Исключаем \(x = 4\) (корень \(28 - 7x = 0\)). Наименьшие целые решения: \(5, 6, 7\). Произведение: \(5 \cdot 6 \cdot 7 = 210\).
    Ответ: \(210\).

  4. Найдите область определения функции: \[ y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x + x^2 \sqrt{6 - x^2 - x + \sqrt{7x + 25}}} \] Решение: Условия:
    1. \(2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2\)
    2. \(7x + 25 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{25}{7}\)
    3. Знаменатель \(\neq 0\): \(x \neq 0\)
    Область определения: \(x \in \left[-\frac{25}{7}, 2\right] \setminus \{0\}\). Целые числа: \(-3, -2, -1, 1, 2\). Сумма: \(-3 + (-2) + (-1) + 1 + 2 = -3\).
    Ответ: \(-3\).

  5. Найдите сумму корней уравнения: \[ \cos 7x + \cos 5x = 0 \quad \text{на промежутке } \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \] Решение: Используем формулу суммы косинусов: \[ 2 \cos 6x \cos x = 0 \Rightarrow \cos 6x = 0 \] Решения: \[ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} \] В промежутке \(\left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)\) корни: \(\frac{7\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}\). Сумма: \[ \frac{7\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} = \frac{27\pi}{12} = \frac{9\pi}{4} \] Ответ: \(\frac{9}{4}\).

  6. Решите неравенство: \[ 4 \cos^2 x \leq 3 \quad \text{при } x \in [0; 2\pi] \] Решение: \[ \cos^2 x \leq \frac{3}{4} \Rightarrow |\cos x| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right] \] Целые числа в \([0, 6]\): \(1, 2, 4, 5\). Количество: \(4\).
    Ответ: \(4\).

  7. Найдите значение производной функции в точке \(x_0 = 1\): \[ y = x^3\left( 2\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{3x}} \right) \] Решение: Упростим функцию: \[ y = 2x^{3.5} + \frac{5x^{2.5}}{\sqrt{3}} \] Производная: \[ y' = 7x^{2.5} + \frac{25x^{1.5}}{2\sqrt{3}} \] При \(x = 1\): \[ y'(1) = 7 + \frac{25}{2\sqrt{3}} = 7 + \frac{25\sqrt{3}}{6} \] Ответ: \(7 + \frac{25\sqrt{3}}{6}\).

  8. Решите уравнение: \[ \arccos(x^2 - 2x) = \arccos(3x - 6) \] Решение: Условие: \[ x^2 - 2x = 3x - 6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2, 3 \] Проверка областей значений:
    • \(x = 2\): \(0 \in [-1, 1]\) — подходит.
    • \(x = 3\): \(3 \notin [-1, 1]\) — не подходит.
    Сумма корней: \(2\).
    Ответ: \(2\).

  9. Найдите сумму всех целых чисел из области значений функции: \[ y = \sin^2 x + 2\sin x \] Решение: Замена \(t = \sin x\), \(t \in [-1, 1]\): \[ y = t^2 + 2t \] Экстремумы: минимум \(-1\) при \(t = -1\), максимум \(3\) при \(t = 1\). Целые значения: \(-1, 0, 1, 2, 3\). Сумма: \(-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5\).
    Ответ: \(5\).

  10. Прямая \(y = -11x - 7\) касается параболы \(y = ax^2 + bx + 1\) в точке с абсциссой \(-2\). Найдите сумму значений коэффициентов \(a\) и \(b\).
    Решение: Условия:
    1. Значения функций равны при \(x = -2\): \[ 4a - 2b + 1 = 15 \Rightarrow 4a - 2b = 14 \]
    2. Производные равны при \(x = -2\): \[ -4a + b = -11 \]
    Решаем систему: \[ \begin{cases} 4a - 2b = 14 \\ -4a + b = -11 \end{cases} \Rightarrow a = 2, \ b = -3 \] Сумма: \(2 + (-3) = -1\).
    Ответ: \(-1\).
Материалы школы Юайти